Вращение образующей гиперболоида

Одно­по­лост­ный гипер­бо­лоид враще­ния — поверх­ность, обра­зо­ван­ная враще­нием гипер­болы вокруг её мнимой оси (оси симмет­рии, перпен­ди­ку­ляр­ной отрезку с кон­цами в фоку­сах).

Через каж­дую точку гипер­бо­ло­ида про­хо­дят две прямые, пол­но­стью лежащие на нём. Каж­дая из них при враще­нии вокруг оси гипер­бо­ло­ида «заме­тает» всю поверх­ность. Таким обра­зом, одно­по­лост­ный гипер­бо­лоид может быть полу­чен и враще­нием прямой вокруг скрещи­вающейся с ней оси.

Объеди­не­ние этих двух взгля­дов на одно­по­лост­ный гипер­бо­лоид враще­ния явля­ется осно­вой эффект­ных и запоми­нающихся моде­лей, в кото­рых прямая про­хо­дит через изогну­тую про­резь-гипер­болу.

Наи­бо­лее заво­ражи­вающим явля­ется экс­по­нат, в кото­ром на вращающемся диске уста­нов­лен наклон­ный отре­зок, являющийся частью обра­зующей гипер­бо­ло­ида. При враще­нии диска отре­зок про­хо­дит через обе ветви про­рези-гипер­болы, не заде­вая края.

В часто встре­чающемся в музеях науки экс­по­нате трубка, пред­став­ляющая прямую, скрещи­вающуюся с осью враще­ния, жёстко соеди­нена отрез­ком с муф­той на оси враще­ния.

Параметры $a$ и $b$ гипер­болы-про­рези, задан­ной в плос­ко­сти экрана урав­не­нием $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (при есте­ственно вве­дён­ной системе коор­ди­нат), легко посчи­тать по двум харак­тер­ным положе­ниям модели.

Когда отре­зок, соеди­няющий обра­зующую и ось, лежит в плос­ко­сти экрана, то его конец совпа­дает с «верши­ной» гипер­болы. Зна­чит, параметр $a$ есть про­сто длина этого отрезка.

Когда обра­зующая парал­лельна экрану, то её про­екция на экран явля­ется асимп­то­той для гипер­болы-про­рези. А зна­чит, параметр $b$ можно опре­де­лить из соот­ноше­ния $\tg \alpha = \frac{a}{b}$, где $\alpha$ — угол наклона обра­зующей к вер­ти­каль­ной оси.

Лите­ра­тура

Шухов­ские башни // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 88—89, 322—325.

Другие модели раздела «Конические сечения: гипербола»