Группа диэдра

Два зер­кала, постав­лен­ные как рас­пах­ну­тая книжка и перпен­ди­ку­ляр­ные осно­ва­нию, помогут понять, как рабо­тают калей­до­скопы. Отре­зок, много­кратно отра­зившись в этой зер­каль­ной книге — дву­гран­ном зер­каль­ном угле, — может пре­вра­титься в любой пра­виль­ный много­уголь­ник.

Группа диэдра — группа симмет­рий (само­совмеще­ний) пра­виль­ного много­уголь­ника, вклю­чающей как враще­ния, так и осе­вые симмет­рии. Все такие симмет­рии могут быть полу­чены с помощью отраже­ний.

Начер­тим на осно­ва­нии модели отре­зок и посмот­рим на его отраже­ния в зер­ка­лах. Чтобы отраже­ния было проще ана­ли­зи­ро­вать, сле­дует ещё нари­со­вать какую-нибудь несиммет­рич­ную кар­тинку или поста­вить в угол какой-нибудь пред­мет.

Если зер­кала обра­зуют угол в $120^\circ$ то отре­зок, отра­зившись в зер­ка­лах, даст пра­виль­ный тре­уголь­ник.

Если зер­кала сдви­нуть так, чтобы угол между ними был $90^\circ$, то отре­зок пред­ста­нет квад­ра­том. По ори­ен­ти­ро­ван­но­сти лого­типа Матема­ти­че­ских этю­дов в зер­ка­лах можно про­сле­дить степень отраже­ния.

Основ­ное усло­вие калей­до­скопа — отражён­ную в зер­ка­лах кар­тинку наблю­да­тель должен видеть как реаль­ный объект: если смещаться отно­си­тельно зер­кал, то объект меняться не должен. Напри­мер, квад­рат все­гда будет оста­ваться квад­ра­том.

А вот если пово­ра­чи­вать зер­каль­ную книгу как еди­ное целое (чтобы угол был все­гда прямой) отно­си­тельно осно­ва­ния и отрезка, то квад­рат пре­вра­тится в ромб.

Если угол между зер­ка­лами будет $72^\circ$, то в зер­ка­лах, как нетрудно дога­даться, будет виден… пра­виль­ный пяти­уголь­ник.

При угле в $60^\circ$ — пра­виль­ный шести­уголь­ник. Если вращать книгу как еди­ное целое отно­си­тельно осно­ва­ния, то в какой-то момент полу­чим пра­виль­ный тре­уголь­ник. Внима­тель­ный зри­тель заме­тит, что изоб­раже­ние тре­уголь­ника принци­пи­ально отли­ва­ется от слу­чая, когда вращали прямой угол: тре­уголь­ник, конечно, полу­чился пра­виль­ным, а вот изоб­раже­ния лого­типа некор­ректно.

При угле $360^\circ/7$ группа отраже­ний даст семи­уголь­ник.

Можно про­должать и дальше: во всех слу­чаях, когда угол между зер­ка­лами будет вида $360^\circ/n,$ изоб­раже­ние в зер­каль­ной книге будет являться пра­виль­ным $n$-уголь­ни­ком. И оно все­гда будет устой­чиво!

А вот если угол между зер­ка­лами будет отли­чен от $360^\circ/n$, то возле «корешка» зер­каль­ной книги будут видны лишь «обломки» основ­ной обла­сти между зер­ка­лами. При­чём при смеще­нии зри­теля отно­си­тельно зер­кал они будут ещё и меняться — ника­кого калей­до­скопа не полу­чится.

Основа калей­до­скопов — физи­че­ский закон, кото­рый хорошо демон­стри­рует зер­каль­ная книга: отраже­ние зер­кала в зер­кале снова рабо­тает как зер­кало.

Лите­ра­тура

Вин­берг Э. Б. Калей­до­скопы и группы отраже­ний // Матема­ти­че­ское про­свеще­ние. Тре­тья серия. 2003. Вып. 7. Стр. 45—63.

Вин­берг Э. Б. Калей­до­скопы // Соро­сов­ский обра­зо­ва­тель­ный жур­нал. 1997. № 2. Стр. 121—127.

Калей­до­скоп // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 46—47, 150—153.

Другие модели раздела «Калейдоскопы»