Исчезающая клетка и числа Фибоначчи

Квад­рат $8\times 8$ можно раз­ре­зать на четыре части из кото­рых скла­ды­ва­ется… прямо­уголь­ник $5\times 13$ площа­дью $65!$

Ещё один извест­ный геомет­ри­че­ский софизм: прямо­уголь­ный тре­уголь­ник с кате­тами $5$ и $13$ раз­ре­за­ется на четыре части, из кото­рых скла­ды­ва­ется тот же прямо­уголь­ный тре­уголь­ник, но уже с одной пустой клет­кой!

Но постойте, площадь фигуры равна сумме площа­дей частей, из кото­рых она состав­лена. Поэтому при пере­кла­ды­ва­нии она не может изме­ниться. В чём же несты­ковка?

Объяс­не­ние пара­докса в обоих слу­чаях по сути оди­на­ко­вое — рас­смат­ри­ваются не те фигуры, кото­рые опи­сы­вали. В «Пара­доксе шахмат­ной доски», пред­став­лен­ном шахма­ти­стом и авто­ром голо­во­ломок Сэмюэлем Лой­дом в сере­дине XIX века на шахмат­ном конгрессе, чест­ный квад­рат пере­кла­ды­ва­ется не в прямо­уголь­ник, а в прямо­уголь­ник без вытя­ну­того, почти неза­мет­ного глазу парал­ле­лограмма еди­нич­ной площади (вытя­ну­того вдоль диаго­нали прямо­уголь­ника). В пара­доксе с тре­уголь­ни­ками, при­думан­ном Мар­ти­ном Гард­не­ром в сере­дине XX века, обе гипо­те­нузы (исход­ного и полу­чающегося тре­уголь­ника) на самом деле не являются прямыми: состав­лен­ная из них фигура также явля­ется парал­ле­лограммом еди­нич­ной площади.

Чтобы было легче разгля­деть этот парал­ле­лограмм, посмот­рим на ана­лог «тре­уголь­ника Гард­нера» меньшего размера — со сто­ро­нами $3$ и $5$.

Все вершины всех частей лежат в узлах квад­рат­ной сетки. И в том, что гра­ницы частей не скла­ды­ваются в прямую линию, а обра­зуют сто­роны парал­ле­лограмма (с верши­нами в узлах), легко убе­диться, посчи­тав по кле­точ­кам наклон каж­дого отрезка. В прямо­уголь­нике $5\times 13$ в жёл­том тре­уголь­нике отноше­ние кате­тов равно $\tg \alpha=\dfrac{3}{8}$, а для синей трапе­ции тангенс «того же» угла равен $\dfrac{2}{5}$. Для софизма с тре­уголь­ни­ком: в вари­анте Гард­нера $\dfrac{2}{5}\ne \dfrac{3}{8}$, в уменьшен­ном вари­анте $\dfrac{1}{2}\ne \dfrac{2}{3}$. Во всех слу­чаях сто­роны парал­ле­лограмма, как и должно быть, попарно равны и парал­лельны. Вершины парал­ле­лограмма лежат в узлах сетки, а вот внутри парал­ле­лограмма нет ни одного узла. Что, впро­чем, неуди­ви­тельно, если вспом­нить, что площадь равна еди­нице и  формулу Пика.

Разо­бравшись с несты­ков­кой, задума­емся, как кон­стру­и­ро­вать подоб­ные софизмы. Можно заме­тить, что встре­чавши­еся числа $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $8,$ $13$ являются нача­лом знаме­ни­той после­до­ва­тель­но­сти чисел Фибо­наччи

$ \{1,$ $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $8,$ $13,$ $21,$ $34,$ $55,$ $89,\ \dotso\}.$

Эта после­до­ва­тель­ность зада­ётся рекур­рент­ным соот­ноше­нием $$ F_n=F_{n-1}+F_{n-2} $$ и парой началь­ных чисел $F_0=1$, $F_1=1$.

Между чис­лами Фибо­наччи суще­ствует много инте­рес­ных соот­ноше­ний. В $1680$ году фран­цуз­ский аст­ро­ном ита­льян­ского про­ис­хож­де­ния Джо­ванни Доми­нико Кас­сини, открывший спут­ники Сатурна и щель в его коль­цах, заме­тил такое соот­ноше­ние: $F_{n+1}\cdot F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$, кото­рое теперь назы­вают его име­нем.

При $n=6$ полу­ча­ется равен­ство $5\cdot 13-8^2=1$ — зна­комые по «Пара­доксу шахмат­ной доски» числа и зна­комое уве­ли­че­ние на еди­ницу! А вот при­нять за сто­рону квад­рата число Фибо­наччи с нечёт­ным номе­ром нельзя — детали в соот­вет­ствующий прямо­уголь­ник можно сложить только с наложе­нием (в пере­се­че­нии — всё тот же парал­ле­лограмм еди­нич­ной площади).

В «тре­уголь­нике Гард­нера» катеты маленьких (насто­ящих и не меняющих площадь) тре­уголь­ни­ков являются чис­лами Фибо­наччи: у крас­ного — 3 и 8, у жёл­того — 2 и 5. Соот­вет­ственно сто­роны прямо­уголь­ника (в кото­ром и про­ис­хо­дит уве­ли­че­ние на клетку) полу­чаются: до пере­кладки — 3 и 5, а после пере­кладки — 2 и 8. Уве­ли­че­ние площади прямо­уголь­ника на клетку обес­пе­чи­вает соот­ноше­ние на четыре после­до­ва­тель­ных числа Фибо­наччи: $F_{n}\cdot F_{n-3}-F_{n-1}\cdot F_{n-2}=(-1)^n$, кото­рое можно полу­чить из соот­ноше­ния Кас­сини и рекур­рент­ного соот­ноше­ния. Для $n=6$ полу­ча­ется равен­ство $8\cdot 2-5\cdot 3=1$, на кото­ром осно­ван «тре­уголь­ник Гард­нера».

Таким обра­зом, софизмы постро­ены на том, что размеры фигур и частей, из кото­рых они состав­ляются, суть нескольких под­ряд идущих чис­лах Фибо­наччи. Опи­ра­ясь на эти соот­ноше­ния можно постро­ить ана­логич­ные софизмы и для фигур больших разме­ров. В вари­анте Лойда надо не забы­вать про чёт­ность, а в вари­анте Гард­нера — если желать, чтобы площадь соби­ра­лась в квад­рат­ную клетку, при­дётся уве­ли­чи­вать коли­че­ство частей, из кото­рых состав­лен основ­ной прямо­уголь­ник.

Для чисел Фибо­наччи суще­ствует и явное, а не рекур­рент­ное, зада­ние, назы­ва­емое форму­лой Бине $$ F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^n-\frac{1}{\sqrt{5}}\Big(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\Big)^n. $$ Отме­тим, что хотя числа Фибо­наччи целые, в формуле для них воз­ни­кает число ирраци­о­наль­ное — золо­тое сече­ние $\phi=\dfrac{1+\sqrt5}2$.

Пер­вая скобка в формуле Бине равна при­мерно $1{,}618$, а вто­рая скобка — число отрица­тель­ное и по модулю меньшее еди­ницы (при­мерно $-0{,}618$). Зна­чит, числа Фибо­наччи быстро рас­тут, а точ­нее, $F_n\sim\dfrac1{\sqrt5}\varphi^n$. Это объяс­няет, почему с ростом $n$ щель в виде парал­ле­лограмма ста­но­вится всё уже и обман всё слож­нее заме­тить (срав­ните, напри­мер, маленький и большой «тре­уголь­ники Гард­нера»). Действи­тельно, наклоны раз­ных отрез­ков в софизмах имеют вид $\dfrac{F_{n+2}}{F_n}$, а с ростом $n$ эти отноше­ния ста­но­вятся всё ближе к $\phi^2$ и прак­ти­че­ски нераз­ли­чимы.

Появившийся еди­нич­ный парал­ле­лограмм и его диаго­наль являются объек­тами кра­си­вой науки, начала кото­рой заложил Герман Мин­ков­ский, — геомет­рии чисел. Более точно — геомет­ри­че­ской интер­пре­тации цеп­ных дро­бей.

На рисунке пока­зана прямая $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}2y$ и отме­чены наи­бо­лее близ­кие к ней узлы сетки. Их коор­ди­наты — сосед­ние числа Фибо­наччи, а сами точки, пры­гая пооче­рёдно то выше прямой, то ниже, при­ближаются к ней. А отноше­ния сосед­них чисел Фибо­наччи дают в неко­то­ром смысле наи­лучшие раци­о­наль­ные при­ближе­ния золо­того сече­ния… Заин­триго­ван­ному чита­телю сове­туем брошюру Вла­ди­мира Иго­ре­вича Арнольда «Цеп­ные дроби».

Каза­лось бы, про­сто фокус, про­сто кар­тинки, ходящие в интер­нете… А сколько нетри­ви­аль­ной матема­тики в них заложено!

Лите­ра­тура

Игна­тьев Е. И. В цар­стве сме­калки или арифме­тика для всех: книга для семьи и школы. Книга вто­рая. — Санкт-Петер­бург, 1909. — [Раз­дел «Геомет­ри­че­ские софизмы»]. — [Сле­дует смот­реть изда­ния 1908—1924 годов — они суще­ственно пол­нее и содержа­тель­нее после­дующих].

Кор­дем­ский Б. А. Матема­ти­че­ская сме­калка. — М.: ГТТЛ, 1954. — [Глава 14 «Числа древ­ние, но вечно юные», Б. «Числа Фибо­наччи»].

Sillke T. Geometrical Paradox. — [Стоит обра­тить внима­ние на обшир­ный спи­сок лите­ра­туры].

Спи­вак А. В. Числа Фибо­наччи // Новая школь­ная энцик­лопе­дия. Т. «Небес­ные тела. Числа и фигуры». — М.: Росмэн-пресс, Мир книги, 2005. — Стр. 396—401. — [Пере­из­да­ние: «Матема­тика: пол­ная энцик­лопе­дия». — М.: Росмэн-пресс, 2020].

Воро­бьёв Н. Н. Числа Фибо­наччи. — 4‐е изд., доп. — М.: Наука, 1978. — (Попу­ляр­ные лекции по матема­тике; Вып. 6).

Грэ­хем Р., Кнут Д., Паташ­ник О. Кон­крет­ная матема­тика: Осно­ва­ние информа­тики. — М.: Мир, 1998. — [2‐e изд.: М.: Мир, Бином, 2009]. — [§ 6.6 «Числа Фибо­наччи»].

Кокс­тер Г. С. М. Вве­де­ние в геомет­рию. — М.: Наука, 1966. — [Глава 11 «Золо­тое сече­ние и фил­ло­так­сис», стр. 236—252].

Арнольд В. И. Цеп­ные дроби. — М.: МЦНМО, 2009. — (Биб­лио­тека «Матема­ти­че­ское про­свеще­ние»; Вып. 14).

Фил­ло­так­сис // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 78, 318.

Другие модели раздела «Площади фигур и равносоставленность»