Футбольный мяч: зеркальный икосаэдр

Поверх­ность клас­си­че­ского фут­боль­ного мяча состоит из «слегка искрив­лён­ных» 12 пра­виль­ных пяти­уголь­ни­ков чёр­ного цвета и 20 пра­виль­ных белых шести­уголь­ни­ков.

Кстати, «клас­си­че­ским» такой мяч был не все­гда: впер­вые такие покрой и рас­краска были исполь­зо­ваны для офици­аль­ного мяча на чемпи­о­нате мира в 1970 году в Мек­сике. Чёрно-белая рас­краска тогда была выбрана из сооб­раже­ний кон­траст­но­сти, чтобы мяч был лучше виден на пре­об­ла­давших в то время чёрно-белых теле­ви­зо­рах. Да и само назва­ние — Telstar — он полу­чил в честь теле­ви­зи­он­ного спут­ника. В после­дующие годы рас­краска офици­аль­ных мячей меня­лась, но покрой оста­вался неизмен­ным вплоть до чемпи­о­ната 2002 года.

С точки зре­ния матема­тики, клас­си­че­ский  фут­боль­ный мяч явля­ется усе­чён­ным ико­саэд­ром. Этот факт и тео­рия групп, порож­дён­ных отраже­ни­ями (в трёхмер­ном слу­чае — многогран­ни­ков Кокс­тера), поз­во­ляет сде­лать про­стую в изго­тов­ле­нии, но кра­си­вую модель.

Сле­дует взять зер­каль­ный трёхгран­ный угол, состав­лен­ный из оди­на­ко­вых рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков. При длине осно­ва­ния $a$ боко­вые сто­роны, по кото­рым скле­и­ваются тре­уголь­ники в угол, должны иметь длину $r=\frac{1}{4}\sqrt{2(5+\sqrt{5})} a$ или с хорошей точ­но­стью $r\approx0{,}95 a$. (Напри­мер, если взять $a=10$ см, то $r=9{,}5$ см.) Зер­каль­ный угол очень бли­зок к пра­виль­ному тет­раэдру, но всё же отли­ча­ется от него.

Ещё одна необ­хо­димая деталь — (плос­кий) пра­виль­ный тре­уголь­ник, окрашен­ный в белый и чёр­ный цвета так, что внут­рен­няя белая область явля­ется пра­виль­ным шести­уголь­ни­ком. (Для этого сто­роны чёр­ных тре­уголь­ни­ков надо взять в три раза меньше сто­роны исход­ного пра­виль­ного тре­уголь­ника.)

Если такой тре­уголь­ник вложить в трёхгран­ный угол, вы уви­дите модель клас­си­че­ского фут­боль­ного мяча! При пока­чи­ва­нии угла отно­си­тельно оси зре­ния кар­тинка меняться не будет.

Модель

Чтобы при отраже­нии «мяч» был виден пол­но­стью, вкла­ды­ва­емый тре­уголь­ник не должен быть слиш­ком большим. Вкла­ды­вать его надо не дальше чем на треть высоты от вершины зер­каль­ного угла. (Зна­чит, при осно­ва­нии зер­каль­ного тре­уголь­ника $a=10$ см длину сто­роны вкла­ды­ва­емого тре­уголь­ника можно сде­лать рав­ной $3$ см, соот­вет­ственно сто­роны маленьких чёр­ных тре­уголь­ни­ков на нём — по $1$ см.)

Зер­каль­ные рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ники проще всего выре­зать из пла­стика с зер­каль­ным напы­ле­нием. А скрепить их можно с помощью скотча или широ­кой изо­ленты, склеив вдоль боко­вых сто­рон — рёбер трёхгран­ного угла.

Что же это за такой маги­че­ский зер­каль­ный угол, в кото­ром при отраже­ниях виден фут­боль­ный мяч? (А на самом деле — ико­саэдр, кото­рый виден ещё более явно, если вложить одно­цвет­ный тре­уголь­ник.)

Зер­каль­ный угол свя­зан с самим ико­саэд­ром: его вершина рас­по­ложена в цен­тре ико­саэдра, а зер­кала про­хо­дят через сто­роны одной из гра­ней ико­саэдра. Отсюда полу­чаются и усло­вия на сто­роны рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков, обра­зующих зер­каль­ный угол: если осно­ва­ние тре­уголь­ника $a$ — длина ребра ико­саэдра, то боко­вая сто­рона $r$ — радиус опи­сан­ной около ико­саэдра сферы.

А то, что кар­тинка в таком зер­каль­ном угле будет ико­саэд­ром, гаран­ти­рует тео­рия групп, порож­дён­ных отраже­ни­ями.

Лите­ра­тура

Фут­боль­ный мяч // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 154—155, 344-345.

Другие модели раздела «Калейдоскопы»