Вписанные углы: игра с резинками

Осно­вой модели явля­ется круг, с рас­став­лен­ными по окруж­но­сти и в цен­тре стол­би­ками. Допол­няет его набор рези­но­чек, лучше раз­ноцвет­ных, раз­ной длины и с петель­ками на кон­цах.

Суще­ственно раньше темы впи­сан­ных углов в школь­ной программе изу­ча­ется заме­ча­тель­ное свойство окруж­но­сти: вершины прямых углов прямо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков с дан­ной гипо­те­ну­зой лежат на окруж­но­сти, постро­ен­ной на гипо­те­нузе как на диаметре. То же самое в терми­нах впи­сан­ных углов: любой угол, опи­рающийся на диаметр, — прямой. Дока­зы­ва­ется это про­ве­де­нием меди­аны на гипо­те­нузу, кото­рая раз­би­вает изна­чаль­ный тре­уголь­ник на два рав­но­бед­рен­ных.

Угол
Угол

Покажем, что впи­сан­ный угол равен поло­вине цен­траль­ного.

Пер­вый шаг — рас­смот­реть впи­сан­ный угол, у кото­рого одна из сто­рон явля­ется диамет­ром. Для дока­за­тельства веша­ется радиус. Полу­чен­ный тре­уголь­ник явля­ется рав­но­бед­рен­ным, а зна­чит, углы при его осно­ва­нии равны. А цен­траль­ный угол для дан­ного тре­уголь­ника явля­ется внеш­ним.

Вписанный угол равен половине центрального
Вписанный угол равен половине центрального

Любой впи­сан­ный угол равен поло­вине цен­траль­ного. Это дока­зы­ва­ется про­ве­де­нием диаметра, что сво­дит задачу к преды­дущему слу­чаю.

Вписанный угол равен половине центрального
Вписанный угол равен половине центрального

Послед­ний слу­чай, кото­рый часто смущает школь­ни­ков, — когда диаметр не делит впи­сан­ный угол. Для дока­за­тельства сле­дует рас­смат­ри­вать не сумму, а раз­ность соот­вет­ствующих углов.

Вписанный угол равен половине центрального
Вписанный угол равен половине центрального

Итак, все углы, опи­рающи­еся на одну дугу — равны (т.к. равны поло­вине цен­траль­ного угла).

Углы
Углы

Чтобы постро­ить бис­сек­трису впи­сан­ного угла надо дугу поде­лить попо­лам (так же можно поде­лить угол на $3$, $4$, ... рав­ные части). Инте­ресно заме­тить, что бис­сек­триса смеж­ного угла при­хо­дит в диамет­рально про­ти­вопо­лож­ную точку, т.к. бис­сек­трисы смеж­ных углов перпен­ди­ку­лярны. (Дру­гой взгляд на этот же факт: сере­дины допол­ни­тель­ных дуг — диамет­рально про­ти­вопо­ложны.)

Биссектриса вписанного угла
Биссектриса вписанного угла

В слу­чае, когда впи­сан­ный угол тупой, он всё так же равен поло­вине соот­вет­ствующего цен­траль­ного (кото­рый в таком слу­чае больше раз­вёр­ну­того угла). Добав­ле­ние резинки с теми же кон­цами при­во­дит к сле­дующему утвер­жде­нию: у впи­сан­ных в окруж­ность четырёх­уголь­ни­ков, сумма про­ти­вопо­лож­ных углов равна $180^\circ$. Пере­веши­ва­ние цен­траль­ного угла пока­зы­вает, что это не зави­сит от того какую пару про­ти­вопо­лож­ных углов рас­смат­ри­вать.

Вписанный угол равен половине центрального
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°

К теме впи­сан­ных углов при­мы­кает задача опре­де­лить геомет­ри­че­ское место точек, из кото­рых дан­ный отре­зок виден под дан­ным углом. Реше­ние кото­рой — в фольк­лоре «уши чебу­рашки» — две дуги окруж­но­стей, постро­ен­ных на этом отрезке.

Уши Чебурашки: отрезок виден под данным углом

Из того, что впи­сан­ные углы, опи­рающи­еся на одну дугу равны выво­дится инте­рес­ный факт: радиус опи­сан­ной около тре­уголь­ника окруж­но­сти опре­де­ля­ется сто­ро­ной и про­ти­во­лежащим углом. (Хотя обычно, элементы тре­уголь­ника зави­сят от трёх его харак­те­ри­стик!). Отсюда выво­дится тео­рема сину­сов $\frac{a}{\sin\alpha}=2r$.

Теорема синусов

Из утвер­жде­ния, что впи­сан­ный угол равен поло­вине цен­траль­ного, выво­дится сле­дующее утвер­жде­ние: угол между хор­дами равен полу­сумме дуг. Для дока­за­тельства веша­ется допол­ни­тель­ная резинка. Напри­мер, так счи­таются углы между диаго­на­лями пра­виль­ного $n$-уголь­ника. (Если хорды не пере­се­каются, то ана­логично пока­зы­ва­ется, что угол равен полу­раз­но­сти дуг).

Угол между хордами равен полусумме дуг
Угол между хордами равен полусумме дуг

Если диаметр круга сде­лать в ширину листа А4, то будет легко допол­нить модель смен­ными листоч­ками, оде­вающи­мися на цен­траль­ный стол­бик. Это можно исполь­зо­вать для нане­се­ния допол­ни­тель­ных постро­е­ний. Если круг сде­лать из пла­стика, то для допол­ни­тель­ных постро­е­ний можно про­сто исполь­зо­вать мар­кер. Можно из раз­ноцвет­ной бумаги выре­зать кружочки и вкла­ды­вать их для нагляд­но­сти в углы кото­рые иссле­дуются.

Другие модели раздела «Круг, окружность»