Невидимые тела

В фильме «Неви­димка» пред­став­лено неви­димое в парал­лель­ном пучке лучей тело. При­мер, постро­ен­ный на тре­уголь­ни­ках с углами 30, 30 и 120 гра­ду­сов, был опуб­ли­ко­ван в 2009 году. В 2010 году появился сюжет на «Матема­ти­че­ских этю­дах», а в 2011 году была при­думана кон­струкция неви­димого тела, осно­ван­ная на опти­че­ском свойстве пара­болы.

Рас­смот­рим пара­болы с общим фоку­сом и вет­вями направ­лен­ными вверх и вниз. Построим зер­каль­ные «тре­уголь­ники», две сто­роны кото­рых обра­зо­ваны этими пара­бо­лами, а тре­тья сто­рона – линия, парал­лель­ная оси пара­болы. Луч, парал­лель­ный оси пара­бол, отра­зившись от такой кон­струкции, уйдёт тоже парал­лельно оси. Но со смеще­нием.

Оптическое свойство параболы
Оптическое свойство параболы
Оптическое свойство параболы

Чтобы луч после отраже­ний ухо­дил в изна­чаль­ном направ­ле­нии к уже рас­смот­рен­ной паре тре­уголь­ни­ков, надо при­ста­вить ещё одну пару. Про­вращав кон­струкцию вокруг оси, полу­чим тело, неви­димое по одному направ­ле­нию в парал­лель­ном пучке света.

Невидимка
Невидимка
Невидимка

При­ве­дён­ные в сюжете «Неви­димка» и в модели выше тела неви­димы по одному направ­ле­нию в парал­лель­ных лучах. А суще­ствует ли тело, неви­димое из одной точки в кони­че­ском пучке лучей, как будто смот­рим одним гла­зом?

Рас­смот­рим софо­кус­ные эллипс и гипер­болу, при­чём такие, чтобы их общая хорда про­хо­дила через фокус. Такая пара един­ственна. Рас­смот­рим «тре­уголь­ники», огра­ни­чен­ные эллип­сом, одной вет­вью гипер­болы и прямой, выхо­дящей из «даль­него» фокуса. Если луч не попа­дает в тре­уголь­ники, то его ход не меня­ется. Если луч попал в отражающую поверх­ность эллипса, то после отраже­ния он при­дёт в фокус. Но это и фокус гипер­болы, поэтому, пройдя его и отра­зившись от гипер­болы, луч пой­дёт по направ­ле­нию, идущему от вто­рого фокуса к точке отраже­ния. В этом и состоят опти­че­ские свойства эллипса и гипер­болы.

Оптическое свойство эллипса и гиперболы
Оптическое свойство эллипса и гиперболы
Оптическое свойство эллипса и гиперболы

Такая кон­струкция ещё не явля­ется неви­димой – ход луча меня­ется. Как и в преды­дущих слу­чаях, удвоим её, только теперь не точ­ной копией, а гомо­те­тич­ной. Теперь луч после отраже­ний уйдёт по исход­ному направ­ле­нию. Если про­вращать постро­ен­ную кон­струкцию вокруг линии фоку­сов, то полу­чится тело, неви­димое в кони­че­ском пучке света, исхо­дящем из фокуса эллипса.

Невидимка
Невидимка
Невидимка

Предъявим более про­стую в изго­тов­ле­нии модель. Обрежем тре­уголь­ник прямой, про­хо­дящей через «даль­ний» фокус. Отра­зим тре­уголь­ник отно­си­тельно бис­сек­трисы угла, обра­зо­ван­ного этой прямой и линией фоку­сов. Прямая выби­ра­ется так, чтобы фокус попал внутрь отрезка, полу­чен­ного при обре­за­нии.

Невидимка: конструкция
Невидимка: конструкция
Невидимка: конструкция

После отраже­ния луч уйдёт по исход­ному направ­ле­нию! Не нужно вто­рой копии! Про­вращав кон­струкцию вокруг оси полу­чим тело, неви­димое в кони­че­ском пучке света, исхо­дящем из фокуса эллипса.

Невидимка
Невидимка
Невидимка

Если есть тех­но­логия изго­тов­ле­ния слож­ной зер­каль­ной поверх­но­сти, то можно сде­лать такую модель. Точка «неви­димо­сти» опре­де­ля­ется тем усло­вием, что внеш­няя поверх­ность конуса сли­ва­ется в окруж­ность. Смот­реть надо, закрыв вто­рой глаз.

Как и напи­сано в ста­тье к фильму «Неви­димка», в этой тема­тике всё ещё оста­ётся большое коли­че­ство открытых вопро­сов.

Лите­ра­тура

Пла­хов А., Про­та­сов В. Аэро­ди­нами­че­ская задача Нью­тона и чело­век-неви­димка // Жур­нал «Квант». 2022. № 1, стр. 2—12; № 2, стр. 2—11.

Неви­димка // Матема­ти­че­ские этюды.

Другие модели раздела «Замечательные тела»