Math Pop-Up: правильные многогранники⁠

Про­ек­ти­ро­ва­ние кон­струкций Pop-Up — по сути, геомет­ри­че­ская задача. Сде­лать книгу-пано­раму «Пра­виль­ные многогран­ники» — инте­рес­ная и пока не решён­ная нами задача.

Основ­ной элемент меха­низма Pop-Up, исполь­зу­емый в книгах-пано­рамах, — ⁠⁠при­креп­лён­ная к стра­ни­цам раз­во­рота V‐об­раз­ная кар­тон­ная кон­струкция (по‐английски V‐fold). С точки зре­ния геомет­рии — дву­гран­ный угол.

Пра­виль­ный тет­раэдр сде­лать совсем про­сто — исполь­зу­ется только V-fold.

Две грани тет­раэдра при­кле­и­ваются к книжке под углом $60^\circ$. Эти две грани управ­ляют скла­ды­ва­нием тре­тьей грани, на кото­рой сде­лана складка вдоль высоты. Отме­тим, что грань должна скла­ды­ваться наружу: тогда в сложен­ном состо­я­нии коли­че­ство слоёв кар­тона будет оди­на­ково во всей модели — к этому все­гда надо стремиться при раз­ра­ботке кон­струкций Pop-Up.

Основа Pop-Up-куба — тот же V‐fold, кото­рый обра­зо­ван двумя квад­ра­тами, при­кле­ен­ными к книжке под прямым углом.

При­кле­ен­ные грани управ­ляют скла­ды­ва­нием двух других боко­вых гра­ней.

Обра­тим внима­ние на кон­струкцию верх­ней грани куба.

Можно было бы сде­лать верх­нюю грань из двух тре­уголь­ни­ков: одного при­кле­ен­ного к гра­ням V-fold, другого — к двум другим боко­вым гра­ням. Так полу­чи­лась бы кон­струкция с оди­на­ко­вым коли­че­ством слоёв в сложен­ном состо­я­нии. Но «управ­ле­ние тре­тьего порядка» рабо­тает хуже, чем вто­рого и на верх­ней грани была бы видна щель.

Дру­гой вари­ант — еди­ная верх­няя грань, кото­рой помогает рас­кла­ды­ваться рас­порка между ней и книж­кой. Геомет­ри­че­ская основа: два парал­лель­ных отрезка — на верх­ней грани и на книжке, — остающи­еся парал­лель­ными и на одном рас­сто­я­нии при любом угле рас­крытия книжки.

Нерешён­ная пока нами задача — раз­ра­бо­тать кон­струкцию Pop-Up для доде­каэдра. При­глашаем подумать, попро­бо­вать!