Парабола: изонить

Всего лишь натя­ну­тые прямые нити, а выри­со­вы­ва­ется кар­тина. Такая тех­ника назы­ва­ется string art, curve stitching, изонить, вышивка по кар­тону. Эти слова можно встре­тить и когда гово­рят о дет­ском твор­че­стве, и когда гово­рят об искус­стве. И даже когда гово­рят о науке: изо­нить поз­во­ляет уви­деть кар­дио­иду и неф­ро­иду, лучше понять физи­че­ское явле­ние «кау­стика» и его матема­ти­че­скую основу — геомет­ри­че­ское поня­тие «оги­бающая». А в пред­став­лен­ной модели изо­нить выри­со­вы­вает пара­болу.

Парабола: string art, curve stitching, изонить
Парабола: string art, curve stitching, изонить

На сто­ро­нах про­из­воль­ного угла отме­тим оди­на­ко­вое коли­че­ство точек так, чтобы шаг между точ­ками на каж­дой из сто­рон был посто­ян­ным. Зануме­руем их на одной сто­роне «от вершины угла», а на дру­гой сто­роне — «к вершине угла». Если соеди­нить нитями точки с оди­на­ко­выми номе­рами, то уви­дим пара­болу!

В «симмет­рич­ном слу­чае», — когда «шаг» между точ­ками на обеих сто­ро­нах оди­на­ко­вый, — ось пара­болы будет совпа­дать с высо­той тре­уголь­ника. Если от вершины тре­уголь­ника и от осно­ва­ния отступить оди­на­ко­вое коли­че­ство шагов, то вершина пара­болы будет лежать на сред­ней линии тре­уголь­ника; несложно постро­ить и положе­ние фокуса пара­болы. Если шаги между точ­ками на раз­ных сто­ро­нах отли­чаются, то пара­бола будет «повёр­нута» отно­си­тельно тре­уголь­ника.

Раз­лич­ные реа­ли­за­ции этой идеи встре­чаются и как дет­ское твор­че­ство, и как элемент в про­из­ве­де­ниях искус­ства.

Парабола: string art, curve stitching, изонить
Парабола: string art, curve stitching, изонить

Дока­за­тельство, что полу­чающа­яся при таком постро­е­нии оги­бающая явля­ется пара­бо­лой, осно­вы­ва­ется на том, что при аффин­ном пре­об­ра­зо­ва­нии пара­бола пере­хо­дит в пара­болу (заме­тим, что при этом фокус и дирек­триса не пере­хо­дят в фокус и дирек­трису). Так общий слу­чай сво­дится к част­ному, когда тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный и прямо­уголь­ный; а точки рас­по­ложены на сто­ро­нах без отступов от углов. А этот слу­чай в точ­но­сти совпа­дает с постро­е­нием пара­болы в мини­а­тюре Пара­бола как оги­бающая.

Это дока­за­тельство ана­логично реше­нию сле­дующей задачи о двух пеше­хо­дах. По пере­се­кающимся прямым с раз­лич­ными ско­ро­стями идут два пеше­хода, при­чём точку пере­се­че­ния прямых они про­хо­дят в раз­ные моменты времени. Ока­зы­ва­ется, оги­бающая все­возмож­ных прямых, соеди­няющих пеше­хо­дов, явля­ется пара­бо­лой.

Счи­та­ется, что тех­ника string art как искус­ство вос­хо­дит к английским тка­чам XVII века, кото­рые, вби­вая гвозди в дощечки и в опре­де­лён­ной после­до­ва­тель­но­сти натяги­вая нити, делали украше­ния для дома. Со време­нем тех­ника утра­тила попу­ляр­ность, и инте­рес к ней воз­ро­дился лишь в сере­дине XIX века, когда Мэри Буль — педагог, автор книг, попу­ля­ри­за­тор идей, помощ­ница и жена матема­тика и логика Джор­джа Буля, …, попу­ля­ри­зи­ро­вала ста­рин­ный вид руко­де­лия в каче­стве ориги­наль­ного спо­соба обу­че­ния детей азам матема­тики.

Лите­ра­тура

Табач­ни­ков С. Л. Геомет­рия урав­не­ний // Жур­нал «Квант». — 1988. — № 10. — Cтр. 10—16.

Пара­бола как оги­бающая // Матема­ти­че­ские этюды.

Кар­дио­ида и неф­ро­ида // Матема­ти­че­ские этюды.

Васи­льев Н. Б., Гутенма­хер В. Л. Прямые и кри­вые. — 2-е изд. — М. : Наука, 1978. — [§ 6. Кри­вые вто­рого порядка]. — [Интер­нет-вер­сия].

Гон­чарко О. Ю. Жизнь и алгебра Мэри Буль // Логико-фило­соф­ские шту­дии. — 2022. — Т. 20, № 2. — Стр. 36—44.