Обратная теорема Пифагора

Если в тре­уголь­нике сумма квад­ра­тов длин двух сто­рон равна квад­рату длины тре­тьей сто­роны, то тре­уголь­ник — прямо­уголь­ный. Таким обра­зом, если для трёх положи­тель­ных чисел выпол­нено равен­ство $a^2+b^2=c^2$, то суще­ствует прямо­уголь­ный тре­уголь­ник с кате­тами $a$, $b$ и гипо­те­ну­зой ${c}$. Обрат­ная тео­рема Пифагора завершает книгу первую «Начал» Евклида (пред­ложе­ние XLVIII).

Обратная теорема Пифагора: верёвочная модель

Счи­та­ется, что в Древ­нем Египте обрат­ную тео­рему Пифагора исполь­зо­вали для постро­е­ния прямого угла: завя­зы­вали на верёвке через рав­ные рас­сто­я­ния $12$ узел­ков и стро­или тре­уголь­ник $3:4:5$. Люди, обла­дающие этим зна­нием, были обра­зо­ван­ными, зача­стую рабо­тали пис­цами, но назы­вали их «гарпе­до­напт» — «натяги­вающий верёвку».

Сохра­ни­лась и расшиф­ро­вана древ­не­ва­ви­лон­ская гли­ня­ная таб­личка Plimpton 322 (XIX—XVII вв. до н. э.). Кли­нопис­ный текст содержит пере­чис­ле­ние нескольких прямо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков: цело­чис­лен­ные длины сто­рон; вели­чины, обрат­ные квад­ра­там синуса одного из углов.

Лите­ра­тура

Ван-дер-Вар­ден Б. Л. Про­буж­дающа­яся наука: Матема­тика Древ­него Египта, Вави­лона и Греции. — М.: ГИФМЛ, 1959.

Острик В. В., Цфасман М. А. Алгеб­ра­и­че­ская геомет­рия и тео­рия чисел: раци­о­наль­ные и эллип­ти­че­ские кри­вые. — 3-е изд. — М.: МЦНМО, 2011. — С. 6, 7.

Евклид. Начала.

Byrne’s Euclid. — [Пред­ложе­ние XLVII].

Пере­вод с гре­че­ского и коммен­та­рии Д. Д. Мор­ду­хай-Бол­тов­ского при редакци­он­ном уча­стии М. Я. Выгод­ского и И. Н. Весе­лов­ского. — М.–Л.: ГТТИ, 1948. — С. 58.

Пере­вод с гре­че­ского Ф. Пет­ру­шев­ского. — Санкт-Петер­бург, 1819.

Другие модели раздела «Теорема Пифагора»