Длина лестницы

Рас­смот­рим две лест­ницы с общим нача­лом и при­хо­дящие в одну и ту же точку, но с раз­ными коли­че­ствами ступе­нек. Клас­си­че­ская дет­ская задача: у какой из лест­ниц длина больше – где ступеньки мельче или круп­нее? Для какой из лест­ниц потре­бу­ется более длин­ная ков­ро­вая дорожка?

Несложно дока­зать, что длина ков­ро­вой дорожки не зави­сит от размера ступе­ней. Достроим лест­ницы до прямо­уголь­ного тре­уголь­ника. Сумма длин вер­ти­каль­ных участ­ков ковра равна длине вер­ти­каль­ного катета этого прямо­уголь­ного тре­уголь­ника, гори­зон­таль­ных — гори­зон­таль­ного. Таким обра­зом, длина всей ков­ро­вой дорожки равна сумме кате­тов, кото­рая не зави­сит от размера ступе­ней.

Длина лестницы
Длина лестницы

Будем делать ступени всё более мел­кими. Для любой такой лест­ницы её длина равна сумме кате­тов. А лест­ница всё ближе и ближе к гипо­те­нузе прямо­уголь­ного тре­уголь­ника.

Длина лестницы
Длина лестницы

Оче­видно, что «в пре­деле» полу­чим, что длина ков­ро­вой дорожки — длина гипо­те­нузы — равна сумме кате­тов, т. е. $c=a+b$… Но постойте, мы ведь с вами хорошо знаем тео­рему Пифагора, гово­рящую, что $c^2=a^2+b^2$! А это совсем не то же самое, что $c=a+b$…

За сло­вами «оче­видно, что» часто кроются ошибки — ста­рай­тесь их не упо­треб­лять в матема­ти­че­ских текстах. А чтобы запом­нить это, попро­буйте разо­браться, в чём же была допущена ошибка.