Теорема Пифагора: доказательство Евклида

Тео­рема Пифагора (и обрат­ная к ней) завершает книгу первую «Начал» Евклида. Пред­ложе­ние XLVII (47) гла­сит: в прямо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках квад­рат на сто­роне, стяги­вающей прямой угол, равен <вме­сте взя­тым> квад­ра­там на сто­ро­нах, заклю­чающих прямой угол.

При­выч­ный термин «гипо­те­нуза» при­шёл (через латин­ский) из гре­че­ского: «стяги­вающей прямой угол» явля­ется дослов­ным пере­во­дом тек­ста «Начал» — ἡ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα.

Изящ­ное и элемен­тар­ное дока­за­тельство тео­ремы Пифагора типа «Смотри!», по сути ана­логич­ное при­ве­дён­ному в «Нача­лах», можно пред­ста­вить в кар­тин­ках. Раз­де­лим квад­рат, постро­ен­ный на гипо­те­нузе, на две части про­долже­нием высоты прямо­уголь­ного тре­уголь­ника, опущен­ной из вершины прямого угла. Ока­зы­ва­ется, меньший из обра­зо­вавшихся прямо­уголь­ни­ков по площади равен квад­рату, постро­ен­ному на меньшем катете, а больший – квад­рату, постро­ен­ному на большем катете.

В при­во­димых ниже вари­ациях дока­за­тельства Евклида площади фигур не меняются при пере­каши­ва­нии: их осно­ва­ния и высоты все­гда остаются посто­ян­ными.

Теорема Пифагора
 

Скачать

Теорема Пифагора
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора

При пово­роте парал­ле­лограммов отно­си­тельно вершин ост­рых углов их сто­роны лягут на высоту, потому что их вершинки окажутся в вершине прямого угла. Действи­тельно, сто­рона маленького квад­рата пово­ра­чи­ва­ется на 90 гра­ду­сов и пере­хо­дит в сто­рону тре­уголь­ника; а длин­ные сто­роны парал­ле­лограммов парал­лельны сто­ро­нам квад­рата на гипо­те­нузе. Отли­чие от дока­за­тельства, при­ве­дён­ного в «Нача­лах» и полу­чившего назва­ние «windmill proof» (дока­за­тельство вет­ря­ной мель­ницы) в том, что Евклид не исполь­зо­вал анимацию и рас­смат­ри­вал не сами парал­ле­лограммы, а тре­уголь­ники, являющи­еся их поло­ви­нами.

Теорема Пифагора
 

Скачать

Теорема Пифагора
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора

Ещё одно схожее дока­за­тельство состоит в том, чтобы про­длить сто­роны маленьких квад­ра­тов до пере­се­че­ния.

Теорема Пифагора
 

Скачать

Теорема Пифагора
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора

При таком дока­за­тельстве надо задуматься и обос­но­вать, почему точка пере­се­че­ния ока­зы­ва­ется лежащей на про­долже­нии высоты.

Лите­ра­тура

Мер­зон Г. Площади и пере­каши­ва­ния // Жур­нал «Кван­тик». 2020. № 2. Стр. 2—4.

Литцманн В. Тео­рема Пифагора. — Одесса : Mathesis, 1912.

Евклид. Начала.

Byrne’s Euclid. — [Пред­ложе­ние XLVII].

Пере­вод с гре­че­ского и коммен­та­рии Д. Д. Мор­ду­хай-Бол­тов­ского при редакци­он­ном уча­стии М. Я. Выгод­ского и И. Н. Весе­лов­ского. — М.–Л.: ГТТИ, 1948. — С. 58.

Пере­вод с гре­че­ского Ф. Пет­ру­шев­ского. — Санкт-Петер­бург, 1819.

Другие этюды раздела «Площади и объёмы»