Тетраэдры в додекаэдре

Пять пра­виль­ных многогран­ни­ков — тет­раэдр, октаэдр, куб, ико­саэдр и доде­каэдр — кра­сиво впи­сы­ваются друг в друга. Напри­мер, тет­раэдр можно впи­сать в доде­каэдр. Более того, вершины доде­каэдра можно так покра­сить в $5$ цве­тов, что вершины каж­дого цвета обра­зуют пра­виль­ный тет­раэдр! А зна­чит, можно сде­лать раз­ноцвет­ную модель одной из 59 звёзд­ча­тых форм ико­саэдра.

Пять тетраэдров в додекаэдре
Пять тетраэдров в додекаэдре

Пово­ро­тов, пере­во­дящий доде­каэдр в себя, $12\cdot5=60$ штук: доде­каэдр можно поста­вить на любую из 12 гра­ней и в таком положе­нии повер­нуть 5 спо­со­бами. Каж­дый пово­рот как-то пере­став­ляет рас­смат­ри­ва­емые $5$ тет­раэд­ров. Ока­зы­ва­ется, что враще­ние доде­каэдра пол­но­стью опре­де­ля­ется тем, как оно пере­став­ляет тет­раэдры. Но из враще­ний доде­каэдра про­ис­хо­дят не все $5!=120$ потенци­ально возмож­ных пере­ста­но­вок, а только поло­вина — так назы­ва­емые чёт­ные пере­ста­новки. (На языке тео­рии групп можно ска­зать, что воз­ни­кает изо­морфизм группы враще­ний доде­каэдра с груп­пой $A_5$ чёт­ных пере­ста­но­вок.)

Ту же связь враще­ний доде­каэдра с пере­ста­нов­ками можно полу­чить и впи­сы­вая в доде­каэдр не $5$ тет­раэд­ров, а $5$ кубов («кубы Кеплера»). При этом каж­дый из рас­смот­рен­ных тет­раэд­ров впи­сан в один из кубов Кеплера.

В куб тет­раэдр можно впи­сать двумя раз­ными спо­со­бами. Если в каж­дом кубе Кеплера заме­нить тет­раэдр на «про­ти­вопо­лож­ный», то полу­чивша­яся из пяти «новых» тет­раэд­ров фигура не будет совмещаться с исход­ной пово­ро­том, а только зер­каль­ной симмет­рией.

Лите­ра­тура

Вен­ни­джер М. Модели многогран­ни­ков. — М.: Мир, 1974. — Стр. 51—54.

Другие модели раздела «Многогранники»