Площадь трапеции⁠

Площадь трапе­ции равна про­из­ве­де­нию полу­суммы длин осно­ва­ний на длину высоты. Более формально: если длины осно­ва­ний равны $a$ и $b$, а высоты — $h$, то площадь равна $S=(a+b)/2\cdot h$. Про­ил­лю­стри­ро­вать эту формулу, а, если она забыта, выве­сти, можно восполь­зо­вавшись форму­лами вычис­ле­ния площади прямо­уголь­ника или тре­уголь­ника.

Чтобы восполь­зо­ваться форму­лой площади прямо­уголь­ника про­ве­дём из сере­дин боко­вых сто­рон трапе­ции перпен­ди­ку­ляры на длин­ное осно­ва­ние и раз­режем вдоль них трапе­цию. Отре­зан­ные два прямо­уголь­ных тре­уголь­ника при­ложим гипо­те­ну­зами к оставшимся частям боко­вых сто­рон. Полу­чен­ная фигура явля­ется прямо­уголь­ни­ком.

Длина одной пары сто­рон прямо­уголь­ника совпа­дает с дли­ной высоты трапе­ции. Сумма длин двух других сто­рон равна сумме длин осно­ва­ний трапе­ции, а, зна­чит, длина одной сто­роны равна полу­сумме длин осно­ва­ний, то есть $(a+b)/2$. Таким обра­зом, площадь прямо­уголь­ника, а зна­чит и площадь исход­ной трапе­ции, равна $S=(a+b)/2\cdot h$.

Для пол­ного дока­за­тельства сле­дует ещё убе­диться, что полу­чивша­яся после пере­кла­ды­ва­ния тре­уголь­ни­ков фигура в действи­тель­но­сти явля­ется прямо­уголь­ни­ком — каж­дая боко­вая сто­рона и состав­ное осно­ва­ние являются прямыми лини­ями, а соот­вет­ствующие сто­роны парал­лельны друг другу. Прямо­уголь­ность же углов заложена в самом спо­собе раз­ре­за­ния — по перпен­ди­ку­ля­рам к осно­ва­нию.

Све­сти трапе­цию к  тре­уголь­нику можно раз­ре­зав её вдоль линии, соеди­няющей вершину с сере­ди­ной про­ти­вопо­лож­ной боко­вой сто­роны. Повер­нём отре­зан­ный тре­уголь­ник до того момента, когда оба осно­ва­ния трапе­ции окажутся на одной прямой. Убе­ди­тесь, что две части боко­вой сто­роны при этом лягут на одну прямую, то есть, полу­чится действи­тельно тре­уголь­ник.

Одна из сто­рон полу­чившегося тре­уголь­ника имеет длину, рав­ную сумме длин осно­ва­ний трапе­ции, а длина высоты тре­уголь­ника, про­ве­дён­ной к этой сто­роне, совпа­дает с высо­той трапе­ции.

Один из спо­со­бов под­счёта площади тре­уголь­ника состоит в нахож­де­нии поло­вины про­из­ве­де­ния длины сто­роны на длину высоты, опущен­ную на эту сто­рону. При­ме­не­ние этого спо­соба и даёт при­выч­ную формулу площади трапе­ции.

Обе модели можно сде­лать из доски толщи­ной около 10 мм. Для удоб­ства демон­страции части, на кото­рые она раз­ре­за­ется, удобно соеди­нять между собой при помощи маг­ни­тов.