Когда я закончил опыт, уже наступила ночь; ничего не было видно, кроме туманных пятен на месте глаз и когтей.
Herbert Wells. The Invisible Man. 1897.
Герберт Уэллс трижды был в России. Во время второго своего визита, уже в Советский Союз, встречался с Яковом Исидоровичем Перельманом, который обратил внимание автора «Человека-невидимки» на следующий факт: если человек весь невидим, то и глазные хрусталики невидимы, а значит, не преломляют свет и не собирают изображение на сетчатке. Такой человек сам не может видеть!
Так бывают ли невидимые тела, пусть и неодушевлённые? В 2009 году математики доказали, что неодушевлённые бывают!
Но начнём с XVII века. В «Математических началах натуральной философии» (“Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”) Исаак Ньютон изучает задачу о падении (движении) различных тел в «редкой среде, состоящей из равных частиц, свободно расположенных в равных друг от друга расстояниях», при столкновении с телом отлетающих абсолютно упруго. Впоследствии эта задача получила название «аэродинамическая задача Ньютона».
Первые два тела, которые он рассматривает, — шар и цилиндр, описанные на равных диаметрах. Какое из этих тел будет иметь меньшее сопротивление? Геометрическими методами Ньютон показывает, что у шара сопротивление будет в два раза меньше.
Далее Ньютон переходит к рассмотрению конусов вращения. Среди всех конусов с фиксированным радиусом основания и фиксированной высотой найти тот (возможно, острый, а быть может, усечённый), у которого сопротивление в редкой среде при движении вдоль оси вращения будет минимальным.
Рассмотрим сечение конуса и задачу в плоском случае.
Что же такое сопротивление? При падении конус сталкивается с шариками — частицами редкой среды. Часть шариков попадает в малое основание конуса, часть — в боковую поверхность, некоторые пролетают мимо и вообще не оказывают влияния на движение конуса. При упругом столкновении с конусом шарик меняет направление движения по закону «угол падения равен углу отражения». Изменение вертикальной составляющей вектора импульса шарика и есть то сопротивление, которое шарик оказал падению конуса. Так как в среднем шарики равномерно ударяются о поверхность тела, то сдвиги вправо-влево компенсируют друг друга и не рассматриваются.
В плоском случае сопротивление сечения конуса пропорционально сумме площадей прямоугольника, построенного на маленьком основании, и параллелограмма, построенного на боковой стороне. И это сопротивление надо свести к минимуму. Если посчитать, то наименьшей площадь зелёной фигуры будет в том случае, когда угол между основанием и образующей будет равен 135°. Т. е. шарик после соударения с образующей будет отлетать строго горизонтально.
Следует ли из решения задачи в плоском случае, что оптимальный конус в трёхмерной задаче будет удовлетворять тому же условию? Оказывается, нет. Чтобы перейти от сечения к самому телу, нужно плоскую картинку провращать относительно вертикальной оси. Более далёкие от оси вертикальные отрезки, образовывавшие площадь, будут проходить более длинный путь при вращении и будут вносить больший вклад в объём, соответственно, минимум объёма в исходной задаче искать по плоской картинке нельзя.
В трёхмерном случае сопротивление синего конуса пропорционально объёму зелёного тела, и нужно найти минимум этого объёма. Ньютон показывает, что конус будет оптимальным — иметь наименьшее сопротивление — при следующем условии. Возьмём середину высоты и соединим ее с точкой основания конуса. Отложим такой же по длине отрезок вертикально вниз от середины высоты. Образующая оптимального конуса должна лежать на основании получившегося равнобедренного треугольника. Удивительно, что конус с наименьшим сопротивлением будет усечённым!
А каково будет наилучшее, в смысле минимальности сопротивления, выпуклое тело вращения при данных ширине и высоте? Несмотря на отсутствие в то время вариационного исчисления (именно методами этой науки сейчас решаются такие задачи), Ньютон находит ответ и на этот вопрос. Он показывает, что наилучшее выпуклое тело вращения будет не сильно отличаться от оптимального конуса, и в точности вычисляет образующую этого тела. Определив наилучшее выпуклое тело вращения, он пишет: «Я считаю, что это предложение может быть не бесполезно при построении судов».
Со времён Исаака Ньютона, более 300 лет учёные рассматривали аэродинамическую задачу в редкой среде в той постановке, что была им сформулирована — найти выпуклое тело вращения. Казалось естественным, что наилучшее тело должно быть выпуклым. Лишь в XXI веке отказались от условия выпуклости, и это привело к удивительным результатам!
Возьмём, к примеру, наилучшее тело, найденное Ньютоном, и в его плоской части сделаем треугольную выемку. Тело станет уже невыпуклым, но его сопротивление уменьшится по сравнению с исходным выпуклым. Действительно, если выемка не слишком глубокая, то после соударения шарик отскочит по наклонной и больше не ударится о тело. Вертикальная составляющая вектора импульса шарика, а значит, и торможение тела при таком соударении будет меньше, чем при отскоке от горизонтальной поверхности.
Рассмотрим две интересные конструкции невыпуклых тел, предложенные в работах А. Ю. Плахова и его учеников.
Плоское сечение первой конструкции состоит из двух кусков парабол, расположенных так, что фокус и ось симметрии у них общие. Движение будет происходить вдоль оси парабол. Как вы помните, у параболы есть оптическое свойство — лучи, параллельные оси, после отражения от параболы проходят через фокус. В рассматриваемой конструкции часть шаров, с которыми сталкивается такое тело, попадает в верхнюю часть маленькой параболы и оказывает сопротивление движению. Большинство же шаров отражается от большой параболы, проходит через фокус, затем отражается от маленькой параболы и уходит параллельно изначальному направлению. В редкой среде Ньютона такие шары не увеличивают сопротивление тела — они не теряют вертикальную составляющую импульса, уходят после столкновения параллельно изначальному направлению, хотя и смещаются относительно него.
Ту часть конструкции, от которой отражаются шары, можно уменьшать, не меняя основной идеи.
Провращаем конструкцию из двух парабол вокруг вертикальной оси. Получим некий вид летающей тарелки. Если посмотреть на неё сверху, то площадь, занимаемая такой тарелкой, очень большая. А вот площадь, на которой возникает сопротивление, можно сделать сколь угодно малой. При движении вдоль своей оси вращения такой аппарат в редкой среде Ньютона будет иметь сколь угодно малое сопротивление.
А бывают ли тела совсем без сопротивления? Оказывается, бывают и такие!
Конструкция основана на треугольнике с углами 30, 30 и 120 градусов. Возьмём на расстоянии двух высот симметричный относительно вертикальной оси такой же треугольник.
Посмотрим, что происходит, когда эта плоская конструкция движется в направлении оси симметрии в редкой среде Ньютона. С некоторыми шарами она вообще не сталкивается, и они не оказывают влияния на движение. Те же шары, с которыми она сталкивается, отражаются всегда от обоих треугольников и уходят по направлению, параллельному оси симметрии, без изменения вектора импульса. Таким образом, в модели Ньютона сопротивление тела, полученного вращением такой конструкции вокруг оси, равно нулю!
Чтобы проследить за траекториями шариков — частиц среды, — их пути изображались в виде луча. Но ведь именно по этой траектории будет распространяться и оптический луч! Если последнюю конструкцию из двух треугольников сделать из зеркал, то в части изображения, которое мы будем видеть через неё, поменяются правая и левая стороны. Но если взять ещё одну такую же конструкцию из двух треугольников и приставить сверху, то получившаяся оптическая система уже не будет ни искривлять лучи, ни переставлять их.
Провращаем плоскую конструкцию с нанесённым зеркальным покрытием на внутренних сторонах вокруг оси симметрии. Получим тело, которое снаружи — цилиндр, а внутри состоит из четырёх зеркальных конусов.
Такая конструкция не отклоняет лучи, которые попадают в цилиндр параллельно оси его симметрии. А значит, если отойти достаточно далеко и посмотреть вдоль оси, он будет почти невидим. Почти, потому что в действительности лучи, идущие в цилиндр и попадающие в глаз наблюдателю, лишь почти параллельны. Невидимым в направлении оси он будет из бесконечно удалённой точки.
В работах А. Ю. Плахова и его учеников предложено много интересных конструкций, связанных с невидимостью тел. Среди них тела, невидимые из конечной точки наблюдения; трёхмерные тела, невидимые в трёх перпендикулярных направлениях. В то же время остаётся большое число открытых вопросов. Например, существуют ли тела, невидимые в двух неперпендикулярных направлениях; каково максимально возможное число направлений невидимости.
Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Отдел VII: О движении жидкостей и сопротивлении брошенных тел / Собрание трудов академика А. Н. Крылова. Т. VII. — М.—Л.: Изд-во АН СССР, 1936. — Стр. 422—433.
Титульные листы, содержание и предисловие переводчика первого русского издания «Начал».
Плахов А., Протасов В. Аэродинамическая задача Ньютона и человек-невидимка // Журнал «Квант». — 2022. — № 1, — Стр. 2—12; № 2 — Стр. 2—11.
Плахов А. Ю. Рассеяние в биллиардах и задачи ньютоновской аэродинамики // Успехи математических наук. — 2009. — Т. 64, вып. 5 (389). — Стр. 97—166.