Пятый постулат Евклида равносилен утверждению, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Отрицание к пятому постулату можно строить двумя способами. Первый способ: через точку, не лежащую на прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной. Получается сферическая геометрия. Второй способ: через точку, не лежащую на прямой, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. Получается геометрия Лобачевского. Чем различаются эти геометрии и в чём их сходства — наглядно представлено на плакатах.
Представленные плакаты можно скачать и распечатать на бумаге формата «А». Минимальный размер — листы А3.
Три геометрии: сходства и различия
Евклидова
геометрия
геометрия
Сферическая
геометрия
геометрия
Геометрия
Лобачевского
Лобачевского
Евклид (Εὐκλείδης; Александрия, III век до н. э.).
«Начала» (др.-греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa), определения:
точка есть то, что не имеет частей;
линия — длина без ширины;
прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках;
···
Точки — точки на единичной сфере, прямые — большие круги (сечения сферы плоскостями, проходящими через центр).
Расстояния — обычные длины (по сфере) отрезков прямых.
Модель Пуанкаре в круге:
точки — точки внутри окружности («абсолюта»),
прямые — дуги обычных окружностей, перпендикулярные абсолюту, и диаметры абсолюта.
Расстояния не совпадают с длинами дуг в обычном смысле.
Через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной.
Пятый постулат Евклида.
Через точку, не лежащую на прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной.
Параллельными называются прямые, не имеющие общих точек.
Через точку, не лежащую на прямой, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной.
Параллельными называются прямые, не имеющие общих точек.
Через две различные точки можно провести ровно одну прямую; две различные прямые имеют не более одной общей точки.
Через две близкие точки можно провести ровно одну прямую; две различные прямые имеют ровно две общие точки.
Через диаметрально противоположные точки можно провести бесконечно много прямых.
Через две различные точки можно провести ровно одну прямую; две различные прямые имеют не более одной общей точки.
Сумма углов треугольника равна $\pi$.
Сумма углов треугольника больше $\pi$.
Сумма углов треугольника меньше $\pi$.
Площадь треугольника не выражается через только его углы.
Площадь треугольника с углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ равна $(\alpha+\beta+\gamma)-\pi$.
Площадь треугольника с углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ равна $\pi-(\alpha+\beta+\gamma)$.
Существуют подобные, но не равные, фигуры.
В частности, стороны треугольника не определяются его углами.
Подобных, но не равных, фигур не существует.
В частности, стороны треугольника выражаются через его углы.
Подобных, но не равных, фигур не существует.
В частности, стороны треугольника выражаются через его углы.
Для прямоугольных треугольников $c^2=a^2+b^2$.
Теорема Пифагора.
Для прямоугольных треугольников $\cos c=\cos a\cos b$. Как следствие, $c^2 \lt a^2+b^2$.
Для прямоугольных треугольников $\ch c=\ch a\ch b$. Как следствие, $c^2 \gt a^2+b^2$.
Длина окружности радиуса $r$ равна $2\pi r$.
Длина окружности радиуса радиуса $r$ равна $2\pi\sin r$.
Длина окружности ограничена (не больше длины прямой — большого круга).
Длина окружности радиуса радиуса $r$ равна $2\pi\sh r$.
Длина окружности очень быстро (экспоненциально) растёт с ростом $r$.
Многие утверждения школьной планиметрии имеют аналоги и в сферической, и в неевклидовой геометриях. Но если в формулировке утверждения или в его доказательстве используется параллельность прямых, счёт углов, подобные треугольники, то возникают различия. Например, во всех трёх геометриях медианы треугольника пересекаются в одной точке. Но утверждение, что эта точка делит медианы в отношении $2 : 1$, вернo только в евклидовой геометрии.