Три модели плоскости Лобачевского

Еди­ной осно­вой, про­об­ра­зом всех трёх моде­лей плос­ко­сти Лоба­чев­ского будет служить про­зрач­ная полу­сфера с нари­со­ван­ными на ней полу­окруж­но­стями, перпен­ди­ку­ляр­ными её гра­нице — эква­тору. Таким обра­зом, если эква­тор полу­сферы лежит в гори­зон­таль­ной плос­ко­сти, то окруж­но­сти сле­дует про­во­дить в вер­ти­каль­ных плос­ко­стях.

Модель Пуан­каре в круге можно полу­чить, если полу­сферу поста­вить на стол полю­сом, а точеч­ный источ­ник света поме­стить в про­ти­вопо­лож­ный, север­ный полюс сферы. Счи­тая, что источ­ник точеч­ный, т. е. лучи от него рас­хо­дятся по прямым в раз­ные сто­роны, полу­ча­ется сте­реографи­че­ская про­екция сферы (в нашем слу­чае — полу­сферы) на плос­кость. Сте­реографи­че­ская про­екция сохра­няет углы между лини­ями, а любые окруж­но­сти на сфере пере­во­дит в окруж­но­сти на плос­ко­сти. (Точ­нее, окруж­но­сти, не про­хо­дящие через центр про­екции, пере­хо­дят в окруж­но­сти на плос­ко­сти, а про­хо­дящие через него — в прямые.)

Эква­тор полу­сферы пере­хо­дит в абсо­лют плос­ко­сти Лоба­чев­ского (его точки не при­над­лежат ей), кото­рый явля­ется гра­ницей модели Пуан­каре в круге. Окруж­но­сти на полу­сфере, перпен­ди­ку­ляр­ные эква­тору, пере­хо­дят в окруж­но­сти на круге, перпен­ди­ку­ляр­ные абсо­люту. Это и есть «прямые» на плос­ко­сти Лоба­чев­ского.

Модель Бельтрами—Клейна в круге (про­ек­тив­ная модель) полу­чится, если при таком же положе­нии полу­сферы источ­ник света «угнать на бес­ко­неч­ность», т. е. освещать полу­сферу вер­ти­каль­ными парал­лель­ными лучами. Абсо­лю­том будет про­екция эква­тора, а прямыми плос­ко­сти Лоба­чев­ского — хорды круга.

Модель Пуан­каре на полу­плос­ко­сти можно полу­чить, если полу­сферу поста­вить на стол так, чтобы её эква­тор был в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти, а точеч­ный источ­ник света поме­стить в «север­ный» полюс. Снова воз­ни­кает сте­реографи­че­ская про­екция, при кото­рой полу­сфера про­еци­ру­ется в полу­плос­кость, а эква­тор полу­сферы пере­хо­дит в прямую — абсо­лют плос­ко­сти Лоба­чев­ского в дан­ной модели. Прямыми в модели Пуан­каре на полу­плос­ко­сти будут перпен­ди­ку­ляр­ные абсо­люту окруж­но­сти и перпен­ди­ку­ляр­ные абсо­люту прямые — про­екции с полу­сферы окруж­но­стей, про­хо­дящих через север­ный полюс.

Пре­об­ра­зо­ва­ния (движе­ния) плос­ко­сти Лоба­чев­ского можно наблю­дать, если вращать полу­сферу. В слу­чае модели Пуан­каре на полу­плос­ко­сти полу­сферу сле­дует вращать вокруг оси (так, чтобы эква­тор все­гда нахо­дился в одной и той же плос­ко­сти). Пре­об­ра­зо­ва­ния (для иску­шён­ных чита­те­лей — эллип­ти­че­ские) плос­ко­сти Лоба­чев­ского в слу­чае модели Пуан­каре в круге можно наблю­дать, если вращать полу­сферу вокруг оси, накло­нив её к вер­ти­кали, соеди­няющей источ­ник света и точку каса­ния полу­сферы с плос­ко­стью про­екции. (При таком положе­нии полу­сферы снова полу­ча­ется сте­реографи­че­ская про­екция. Её пере­чис­лен­ные свойства гаран­ти­руют, что и в этом слу­чае полу­ча­ется модель Пуан­каре в круге.)

Прямые плос­ко­сти Лоба­чев­ского, про­хо­дящие через одну точку и парал­лель­ные дан­ной прямой, наглядно стро­ятся в модели Пуан­каре в круге. Для фик­си­ро­ван­ной окруж­но­сти на полу­сфере, для выбран­ной точки сле­дует про­ве­сти две окруж­но­сти, «исхо­дящие из раз­ных концов» фик­си­ро­ван­ной. Так как про­во­дятся только окруж­но­сти, перпен­ди­ку­ляр­ные эква­тору, их про­екции — прямые плос­ко­сти Лоба­чев­ского — выхо­дят из «общих» точек на абсо­люте перпен­ди­ку­лярно ему (напом­ним, что точки абсо­люта не вхо­дят в плос­кость Лоба­чев­ского). А это и зна­чит, что каж­дая из вновь постро­ен­ных прямых парал­лельна фик­си­ро­ван­ной. А любая прямая, про­хо­дящая через выбран­ную точку и лежащая «между» постро­ен­ными, назы­ва­ется «рас­хо­дящейся» с дан­ной и тоже не имеет с ней общих точек.

Лите­ра­тура

Делоне Б. Н. Крат­кое изложе­ние дока­за­тельства непро­ти­во­ре­чи­во­сти пла­нимет­рии Лоба­чев­ского. — М. : Изд-во АН СССР, 1953. — [Глава V. Модель Пуан­каре (в круге) плос­ко­сти Лоба­чев­ского. Стр. 110—116].

Сосин­ский А. Б. Об экви­ва­лент­но­сти трёх моде­лей плос­ко­сти Лоба­чев­ского // Матема­ти­че­ское про­свеще­ние. — 2020. — Вып. 25. — Стр. 38–47.