Три геометрии: сходства и различия

Пятый посту­лат Евклида рав­но­си­лен утвер­жде­нию, что через точку, не лежащую на прямой, можно про­ве­сти ровно одну прямую, парал­лель­ную дан­ной. Если пятый посту­лат не выпол­ня­ется, то возможны две ситу­ации. Через точку, не лежащую на прямой, нельзя про­ве­сти ни одной прямой, парал­лель­ной дан­ной. Полу­ча­ется сфе­ри­че­ская геомет­рия. Через точку, не лежащую на прямой, можно про­ве­сти бес­ко­нечно много прямых, парал­лель­ных дан­ной. Полу­ча­ется геомет­рия Лоба­чев­ского. Чем раз­ли­чаются эти геомет­рии и в чём их сход­ства — наглядно пред­став­лено на пла­ка­тах.

Пред­став­лен­ные пла­каты можно ска­чать и рас­пе­ча­тать на бумаге формата «А». Минималь­ный размер — листы А3.

Три геомет­рии: сход­ства и раз­ли­чия

Евкли­дова
геомет­рия
Сфе­ри­че­ская
геомет­рия
Геомет­рия
Лоба­чев­ского

Евклид (Εὐκλείδης; Алек­сан­дрия, III век до н. э.).

«Начала» (др.-греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa), опре­де­ле­ния:

точка есть то, что не имеет частей;

линия — длина без ширины;

прямая линия есть та, кото­рая равно лежит на всех своих точ­ках;

···

Точки — точки на еди­нич­ной сфере, прямые — большие круги (сече­ния сферы плос­ко­стями, про­хо­дящими через центр).

Рас­сто­я­ния — обыч­ные длины (по сфере) отрез­ков прямых.

Модель Пуан­каре в круге:

точки — точки внутри окруж­но­сти («абсо­люта»),

прямые — дуги обыч­ных окруж­но­стей, перпен­ди­ку­ляр­ные абсо­люту, и диаметры абсо­люта.

Рас­сто­я­ния не совпа­дают с дли­нами дуг в обыч­ном смысле.

Через точку, не лежащую на прямой, можно про­ве­сти ровно одну прямую, парал­лель­ную дан­ной.

Пятый посту­лат Евклида.

Через точку, не лежащую на прямой, нельзя про­ве­сти ни одной прямой, парал­лель­ной дан­ной.

Парал­лель­ными назы­ваются прямые, не имеющие общих точек.

Через точку, не лежащую на прямой, можно про­ве­сти бес­ко­нечно много прямых, парал­лель­ных дан­ной.

Парал­лель­ными назы­ваются прямые, не имеющие общих точек.

Через две раз­лич­ные точки можно про­ве­сти ровно одну прямую; две раз­лич­ные прямые имеют не более одной общей точки.

Через две близ­кие точки можно про­ве­сти ровно одну прямую; две раз­лич­ные прямые имеют ровно две общие точки.

Через диамет­рально про­ти­вопо­лож­ные точки можно про­ве­сти бес­ко­нечно много прямых.

Через две раз­лич­ные точки можно про­ве­сти ровно одну прямую; две раз­лич­ные прямые имеют не более одной общей точки.

Сумма углов тре­уголь­ника равна $\pi$.

Сумма углов тре­уголь­ника больше $\pi$.

Сумма углов тре­уголь­ника меньше $\pi$.

Площадь тре­уголь­ника не выража­ется через только его углы.

Площадь тре­уголь­ника с углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ равна $(\alpha+\beta+\gamma)-\pi$.

Площадь тре­уголь­ника с углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ равна $\pi-(\alpha+\beta+\gamma)$.

Суще­ствуют подоб­ные, но не рав­ные, фигуры.

В част­но­сти, сто­роны тре­уголь­ника не опре­де­ляются его углами.

Подоб­ных, но не рав­ных, фигур не суще­ствует.

В част­но­сти, сто­роны тре­уголь­ника выражаются через его углы.

Подоб­ных, но не рав­ных, фигур не суще­ствует.

В част­но­сти, сто­роны тре­уголь­ника выражаются через его углы.

Для прямо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков $c^2=a^2+b^2$.

Тео­рема Пифагора.

Для прямо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков $\cos c=\cos a\cos b$. Как след­ствие, $c^2 \lt a^2+b^2$.

Для прямо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков $\ch c=\ch a\ch b$. Как след­ствие, $c^2 \gt a^2+b^2$.

Длина окруж­но­сти ради­уса $r$ равна $2\pi r$.

Длина окруж­но­сти ради­уса ради­уса $r$ равна $2\pi\sin r$.

Длина окруж­но­сти огра­ни­чена (не больше длины прямой — большого круга).

Длина окруж­но­сти ради­уса ради­уса $r$ равна $2\pi\sh r$.

Длина окруж­но­сти очень быстро (экс­по­ненци­ально) рас­тёт с ростом $r$.

Многие утвер­жде­ния школь­ной пла­нимет­рии имеют ана­логи и в сфе­ри­че­ской, и в неев­кли­до­вой геомет­риях. Но если в форму­ли­ровке утвер­жде­ния или в его дока­за­тельстве исполь­зу­ется парал­лель­ность прямых, счёт углов, подоб­ные тре­уголь­ники, то воз­ни­кают раз­ли­чия. Напри­мер, во всех трёх геомет­риях меди­аны тре­уголь­ника пере­се­каются в одной точке. Но утвер­жде­ние, что эта точка делит меди­аны в отноше­нии $2 : 1$, вернo только в евкли­до­вой геомет­рии.