Математические этюды

Геометрия Лобачевского:
интерактивная модель Пуанкаре в круге⁠

совместно с Александром Гайфуллиным, Григорием Мерзоном и Михаилом Пановым

Геометрия Лобачевского: интерактивная модель Пуанкаре в круге

В геометрии Лобачевского предполагается, что через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной (т. е. не имеющих с ней общих точек). Николай Иванович Лобачевский (1792—1856), сформулировал правила неевклидовой геометрии, некоторые следствия из этих правил, но не знал ни одной реализации, модели такой геометрии.

Модель Пуанкаре в круге: точки — точки внутри круга, окружность которого называется абсолютом; прямые — дуги обычных окружностей, перпендикулярных абсолюту (частный случай — диаметры абсолюта). В геометрию входят только точки внутри круга, а точки абсолюта не принадлежат плоскости Лобачевского.

В представляемой интерактивной модели точки можно двигать!

Пока лишь упомянем, а подробнее обсудим ниже, что расстояния между точками не совпадают с длинами дуг в обычном смысле.

Пятый постулат Евклида равносилен следующему утверждению (Прокл, V век н. э.): через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. В ⁠⁠сферической геометрии через точку, не лежащую на прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной.

Основополагающий постулат геометрии Лобачевского: через точку, не лежащую на прямой, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. (Параллельными называются прямые, не имеющие общих точек.)

Возьмём прямую и не лежащую на ней точку. Прямая, проходящая через эту точку и подходящая к абсолюту в той же точке, что и рассматриваемая прямая, не имеет с ней общих точек (точки абсолюта не принадлежат плоскости Лобачевского). Две такие прямые ограничивают «сектор», в котором любая прямая, проходящая через рассматриваемую точку, не имеет общих точек с рассматриваемой прямой.

Иногда принято разделять два типа параллельных прямых: те, что идут в одну точку на абсолюте называются параллельными (асимптотически параллельными), а те, что идут внутри сектора, — расходящимися. Расходящиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр: он соединяет ближайшую пару точек этих прямых, а при уходе от него в обе стороны прямые расходятся — расстояния увеличиваются. На асимптотически параллельных прямых при движении к абсолюту можно выбрать сколь угодно близкие точки.

Как и в евклидовой геометрии, но не в сферической, на плоскости Лобачевского через две различные точки можно провести ровно одну прямую; две различные прямые имеют не более одной общей точки.

Треугольник — три точки, соединённые отрезками прямых, проходящих через эти точки. Сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского меньше чем $\pi$.

В модели Пуанкаре в круге угол между прямыми — обычный угол между дугами окружностей (т. е. угол между касательными к дугам в точке пересечения). Если вообразить обычные (евклидовы) отрезки между вершинами, то утверждение про сумму углов треугольника на плоскости Лобачевского станет наглядным (в особенности, если одна из вершин близка к центру круга).

Площадь треугольника с углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ равна $\pi-(\alpha+\beta+\gamma)$. На плоскости Лобачевского площади всех треугольников ограничены. (А существование треугольника сколь угодно большой площади равносильно пятому постулату Евклида.)

Стороны треугольника выражаются через его углы, а значит, подобных, но не равных треугольников, не бывает. Для плоскости Лобачевского верно и более общее утверждение: не бывает подобных многоугольников.

Если подходить к определению прямой как кратчайшей, геодезической линии, вначале надо ввести метрику — то, как измеряются расстояния между точками. В модели Пуанкаре в круге расстояния определяются довольно сложной формулой и для первого знакомства с геометрией Лобачевского на модели Пуанкаре в круге пока лишь примем на веру, что существует такая метрика, в которой кратчайшими являются дуги обычных окружностей, перпендикулярных абсолюту.

Представить как устроена метрика в модели Пуанкаре в единичном круге позволяет следующий факт. Длина очень маленького отрезка, отстоящего от центра круга на расстояние $r$ в геометрии Лобачевского в $\frac1{1-r^2}$ раз больше его обычной (евклидовой) длины. Таким образом, при приближении к недостижимому абсолюту ($r\to1$) небольшие в евклидовом смысле длины становятся в смысле модели Пуанкаре очень большими.

Анри Пуанкаре в книге «Наука и гипотеза» (часть II «Пространство», глава III «Неевклидовы геометрические системы») описывает модель следующей метафорой.

Вообразим, например, мир, заключённый внутри большой сферы и подчинённый следующим законам. Температура здесь неравномерна; она имеет наибольшее значение в центре и понижается по мере удаления от него, делаясь равной абсолютному нулю на шаровой поверхности, которая является границей этого мира.

Я определю в точности даже закон, по которому изменяется эта температура. Пусть $R$ будет радиус граничной поверхности, $r$ — расстояние рассматриваемой точки от центра сферы. Абсолютная температура пусть будет пропорциональна $R^2-r^2$.

Я предположу далее, что в этом мире все тела имеют один тот же коэффициент расширения, именно такой, что длина какой-нибудь линейки пропорциональна абсолютной температуре. […]

В таком случае движущийся предмет будет всё уменьшаться по мере приближения к граничной сфере. Теперь заметим, что хотя этот мир ограничен с точки зрения нашей обычной геометрии, тем не менее он будет казаться бесконечным для его обитателей.

В самом деле, когда они пожелали бы приблизиться к граничной сфере, они охлаждались бы и становились бы все меньше и меньше. Поэтому шаги их постоянно укорачивались бы, и они никогда не могли бы достигнуть граничной сферы.

Анри Пуанкаре. Наука и гипотеза.

(В цитате говорится про стереометрию Лобачевского; для планиметрии Лобачевского вместо сферы в пространстве следует рассматривать окружность на плоскости и при первом знакомстве можно считать, что $R=1$.)

Если подходить к построению геометрии Лобачевского на модели Пуанкаре в круге аксиоматически (следуя Гильберту и Тарскому), то надо определить два базовых понятия: «точка лежит на отрезке» и «два отрезка равны». Первое понятие интерпретируется в рассматриваемой модели как «точка лежит на дуге окружности, перпендикулярной абсолюту». Для интерпретации второго понятия вводится понятие симметрии, отражения относительно прямой.

В геометрии Лобачевского на модели Пуанкаре в круге отражением относительно прямой является евклидова инверсия относительно этой дуги окружности, перпендикулярной абсолюту. (Отметим, что инверсия относительно окружности, перпендикулярной абсолюту, переводит абсолют в себя, а точки внутри абсолюта — в точки внутри абсолюта.) Два отрезка равны, если они переводятся один в другой с помощью отражения (или нескольких отражений) относительно прямой.

Метрический и аксиоматический подходы приводят к одному результату. Меняя в интерактивной модели отрезок и прямую, можно видеть, что при приближении к недостижимому абсолюту длины существенно растягиваются по отношению к обычным.

Движения — преобразования, сохраняющие расстояния. Как и в евклидовой геометрии, любое движение плоскости Лобачевского представимо в виде композиции не более трёх симметрий.

В частности, любое сохраняющее ориентацию движение является композицией двух отражений относительно прямых. В зависимости от того, являются ли эти прямые пересекающимися, асимптотически параллельными («пересекающимися на абсолюте») или расходящимися, получается либо поворот, либо перенос вдоль прямой, либо перенос вдоль орицикла.

Иллюстрация поворота.

Иллюстрация переноса вдоль прямой.

Орициклы — важное понятие стереометрии Лобачевского. На плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в круге орициклы выглядят как окружности, «касающиеся» абсолюта.

На плоскости Лобачевского длина окружности радиуса $r$ равна $2\pi\sh r$, где $\sh r$ — гиперболический синус: $\sh r=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$. Длина окружности очень быстро (экспоненциально) растёт с ростом $r$. (Отметим, что постоянство отношения длины окружности к её диаметру для любой окружности является эквивалентом пятого постулата Евклида.)

Геометрически, как и в случае отрезков, симметричные относительно прямой окружности (и, соответственно, равные) — инверсные относительно неё.

Евклидову плоскость можно замостить одинаковыми правильными треугольниками, квадратами, шестиугольниками. В сферической геометрии возможны замощения одинаковыми правильными треугольниками, четырёхугольниками, пятиугольниками. А плоскость Лобачевского можно замостить одинаковыми правильными $n$-угольниками для любого $n$.

Возможность замощения одинаковыми правильными $n$-угольниками, встречающимися по $k$ в каждой вершине, определяется величиной $\frac1n+\frac1k$. В евклидовой геометрии замощения возможны при $\frac1n+\frac1k=\frac12$; в сферической геометрии — при $\frac1n+\frac1k\gt\frac12$; а в геометрии Лобачевского — при $\frac1n+\frac1k\lt\frac12$.

Исторические комментарии

Параллельные прямые (от др.-греч. παράλληλος — буквально «идущий рядом; идущий вдоль другого») в планиметрии — непересекающиеся (не имеющие общих точек) прямые.
Николай Иванович Лобачевский (1792—1856): с 1814 года — преподаватель Казанского университета, с 1820 года — декан физико-математического факультета, с 1827 по 1845 годы — ректор Императорского Казанского университета. Впервые принципы геометрии были доложены 12 февраля 1826 года на заседании Комиссии Отделения Физико-математических наук Казанского университета.
Модель Пуанкаре в круге предложена итальянским математиком Эудженио Бельтрами в работе 1868 года. В этой же работе предложены и ⁠⁠другие модели геометрии Лобачевского.