Лента (лист) Мёбиуса является односторонней неориентируемой поверхностью с краем, а также популярным и узнаваемым математическим объектом. Существует ли такое вложение ленты Мёбиуса в трёхмерное пространство, при котором её граница была бы плоской кривой?
Границей ленты Мёбиуса является замкнутая кривая, как-то вложенная в пространство. Вспоминая, что замкнутая кривая в пространстве может быть заузлена (см., например, Трилистник: серьги), первый вопрос, с которого надо начинать, — заузлена ли граница ленты Мёбиуса? Немного поразмышляв, можно понять, что в стандартной реализации из полоски бумаги, перекрученной на половину оборота, граница будет незаузленной.
Куда более интересно придумать такое вложение ленты Мёбиуса, при котором её граница была бы не просто незаузленной кривой, а окружностью. В XX веке единственным примером вложения, при котором край является честной окружностью, служила так называемая «Sudanese Möbius strip». Однако эта поверхность довольна сложна для восприятия и понимания.
В настоящем сюжете представляем простой и наглядный пример вложения ленты Мёбиуса, придуманный Василием Рождественским, при котором вся граница лежит в одной плоскости и, следовательно, незаузлена. Применив воображение, несложно непрерывно продеформировать (без самопересечений) эту модель так, чтобы граница стала честной окружностью.
К листу бумаги приклеим половину цилиндра и, соединив накрест лежащие точки границ дуг цилиндра, как показано в фильме, отрежем лишнее.
Получившийся объект является лентой Мёбиуса — односторонней неориентируемой поверхностью с краем. При этом он очень похож на склеенную с перекручиванием на половину оборота полоску бумаги — за склейку отвечает «плоская» часть модели.
Край поверхности представляет собой дугу окружности и отрезок, расположенные в плоскости, и две полуокружности, являющиеся границами приклеенного цилиндра. Одна полуокружность кладётся в плоскость естественным образом. (В жизни мы обычно клеим из бумаги, но помня, что речь о топологии, необходимо применять воображение и уметь «растягивать» лист. Ещё один вариант: заклеить основание цилиндра четвертью сферы.)
Со второй границей так не получится: поверхность начнёт пересекаться с собой. Но топология позволяет «продавить» часть поверхности вниз так, чтобы и вторую дугу можно было положить в плоскость. (В фильме в качестве примитивного примера «ямка» имеет форму половины конуса, закрытой «долькой» сферы.)
Несколько замечаний
- Представленная в начале фильма реализация ленты Мёбиуса как части плоскости и цилиндра может быть получена деформацией трёхлистного вложения. Представленная в конце фильма поверхность очевидно является не самопересекающейся и не имеет неустранимой особенности в вершине продавленного конуса.
- Пример «Sudanese Möbius strip» сложен для восприятия, но имеет свои плюсы: край является в точности окружностью, а сама поверхность является гладкой и несамопересекающейся. Этот пример получается с помощью стереографической проекции половины бутылки Клейна, вложенной в сферу четырёхмерного пространства (бутылка Клейна Лоусона разрезается по большой окружности трёхмерной сферы).
- С топологической точки зрения полоска бумаги, перекрученная перед склеиванием три раза, также является лентой Мёбиуса — односторонней неориентируемой поверхностью с краем. В случае этого вложения край оказывается заузленной кривой, эквивалентной трилистнику. Отметим, что это не противоречит приведённой в фильме модели — так вложенная в пространство лента Мёбиуса не может быть продеформирована во вложение с перекручиванием на полоборота.
Другие этюды раздела «Геометрия с листом бумаги»
