Сапог Шварца

Житейское понима­ние площади поверх­но­сти как коли­че­ства краски (ткани), необ­хо­димого чтобы поверх­ность покра­сить тон­ким слоем (покрыть), не так-то про­сто форма­ли­зо­вать геомет­ри­че­ски… Длина дуги кри­вой опре­де­ля­ется как пре­дел перимет­ров впи­сан­ной в дугу лома­ной — при усло­вии, что длины всех её сто­рон стремятся к нулю. В слу­чае кри­вой поверх­но­сти есте­ственно было бы впи­сы­вать многогран­ную поверх­ность и брать пре­дел её площади при измель­че­нии, но в конце XIX века Герман Шварц при­думал поучи­тель­ный при­мер.

Сапог (в англо­языч­ной лите­ра­туре — фонарь) Шварца пока­зы­вает, что даже для такой про­стейшей поверх­но­сти как цилиндр, площадь кото­рой элемен­тарно счи­та­ется раз­вёр­ты­ва­нием, ука­зан­ная идея не рабо­тает. Цилиндр раз­би­ва­ется рав­но­мерно по высоте $n$ гори­зон­таль­ными окруж­но­стями, в каж­дую из кото­рых впи­сы­ва­ется пра­виль­ный $k$-уголь­ник. Много­уголь­ники пово­ра­чи­ваются друг отно­си­тельно друга на угол $\pi /k$, а их вершины объеди­няются в тре­уголь­ники: каж­дый слой явля­ется антипризмой.

Сапог Шварца
Сапог Шварца
Сапог Шварца

Если при фик­си­ро­ван­ном коли­че­стве слоёв уве­ли­чи­вать коли­че­ство углов $k$ в много­уголь­ни­ках, то поверх­ность сапога будет при­ближаться к поверх­но­сти цилин­дра.

Сапог Шварца
Сапог Шварца
Сапог Шварца

Если остав­лять коли­че­ство углов фик­си­ро­ван­ным, а уве­ли­чи­вать коли­че­ство уров­ней $n$ то площадь можно сде­лать сколь угодно большой.

Сапог Шварца
Сапог Шварца
Сапог Шварца

И в том, и в другом слу­чае варьи­ро­вался только один параметр, и общий размер тре­уголь­ника не уменьшался. При­ближе­ние под­ра­зуме­вает, что тре­уголь­ники будут всё мельче и мельче. Но и это не помогает: если уве­ли­чи­вать оба параметра, то размер тре­уголь­ни­ков будет уменьшаться, а эффект сохра­нится. При уве­ли­че­нии $k$ и $n$ так, что коли­че­ство слоёв рас­тёт быст­рее чем квад­рат коли­че­ства углов много­уголь­ника, сумма площа­дей тре­уголь­ных гра­ней сапога Шварца стремится к бес­ко­неч­но­сти.

Суще­ствен­ное раз­ли­чие слу­чая лома­ной, впи­сан­ной в кри­вую и многогран­ной поверх­но­сти, впи­сан­ной в поверх­ность, в сле­дующем. Когда хорды впи­сан­ной лома­ной доста­точно малы, то направ­ле­ние каж­дой из хорд почти совпа­дает с направ­ле­нием каса­тель­ной к кри­вой. В слу­чае же сапога Шварца каса­тель­ные плос­ко­сти к цилин­дру вер­ти­кальны, а при выпол­не­нии опи­сан­ного усло­вия тре­уголь­ники ока­зы­ваются рас­по­ложены почти гори­зон­тально.

Инте­ресно, что опи­сан­ный эффект про­яв­ляет себя и в 3D-графике. Поверх­но­сти, воз­ни­кающие в сце­нах, зача­стую заме­няются их три­ангу­ляци­ями. А визу­а­ли­за­ция поверх­но­сти, в част­но­сти освещён­но­сти, зави­сит от направ­ле­ния норма­лей. Как уже понятно, при неудач­ной три­ангу­ляции можно полу­чить неже­ла­тель­ные эффекты.

Лите­ра­тура

Дуб­ров­ский В. В поис­ках опре­де­ле­ния площади поверх­но­сти // Жур­нал «Квант». 1978. № 5. Стр. 31—34.

Фих­тенгольц Г. М. Курс диффе­ренци­аль­ного и интеграль­ного исчис­ле­ния. Т. 3.  — 5-е изд., стер. — М.: Физмат­лит, 1966. — С. 248—251.

Другие этюды раздела «Площади и объёмы»