Цепная линия

...Дру­гой спо­соб начер­тить искомую пара­болу на призме состоит в сле­дующем. Вобьём в стену два гвоздя на оди­на­ко­вой высоте над гори­зон­том и на таком рас­сто­я­нии друг от друга, чтобы оно рав­ня­лось двой­ной ширине прямо­уголь­ника, на кото­ром жела­тельно постро­ить пара­болу; между одним и другим гвоз­дём под­ве­сим тон­кую цепочку, кото­рая свеши­ва­лась бы вниз и была такой длины, чтобы самая низ­кая точка её нахо­ди­лась от уровня гвоздя на рас­сто­я­нии, рав­ном длине призмы. Цепочка эта, сви­сая, рас­по­ложится в виде пара­болы, так что, отме­тив её след на стене пунк­ти­ром, мы полу­чим пол­ную пара­болу, рас­се­ка­емую попо­лам перпен­ди­ку­ля­ром, про­ве­дён­ным через сере­дину линии, соеди­няющей оба гвоздя.

Гали­лео Гали­лей. «Беседы и матема­ти­че­ские дока­за­тельства…». 1638.

Однако мэтр оши­бался. Между пара­бо­лой и линией про­висшей  цепи будет небольшое раз­ли­чие. Лишь через пол­века Иоган­ном Бер­нулли, Готф­ри­дом Лейб­ницем и Хри­сти­а­ном Гюйген­сом было выве­дено  урав­не­ние «цеп­ной линии». В нём участ­вует параметр, изме­няя кото­рый можно полу­чать раз­лич­ные кри­вые про­ви­са­ния цепи. Воз­ник­но­ве­нию самого назва­ния «цеп­ная линия» мы обя­заны Гюйгенсу.

По этой линии про­вис­нет не только цепь, но и любая другая одно­род­ная нерас­тяжимая нить под действием силы тяже­сти. Эту кри­вую вы могли, наблю­дать, напри­мер, посещая  музей.

Пере­вер­нём нашу кар­тину.

Если неко­то­рым обра­зом подо­брать параметр в урав­не­нии, то центр квад­рата, катящегося без про­скаль­зы­ва­ния по дуге цеп­ной линии, будет двигаться  ровно по прямой!

Про­сле­дим за тра­ек­то­рией движе­ния одной из вершин квад­рата. Эта кри­вая нигде  не пере­се­ка­ется с цеп­ной линией, а зна­чит, повозку, катящуюся  на квад­рат­ных колё­сах, можно сде­лать! При этом рас­сто­я­ние между осями повозки не обя­зано быть крат­ным ширине горба цеп­ной линии — колёса могут нахо­диться в раз­ных фазах.

На квад­рат­ных колё­сах ездить мы научи­лись. Ока­зы­ва­ется, что можно ездить и на колё­сах, имеющих вид любого  пра­виль­ного много­уголь­ника. Дорога только должна быть не совсем ров­ной — в виде цеп­ной линии со зна­че­нием параметра, зави­сящим от коли­че­ства углов. При при­ближе­нии пра­виль­ного много­уголь­ника к окруж­но­сти и соот­вет­ствующем изме­не­нии параметра арки цеп­ной линии ста­но­вятся всё ниже, а гори­зон­таль­ная длина участка, необ­хо­димая для одного обо­рота много­уголь­ника, ста­но­вится всё ближе к длине окруж­но­сти. Такая вот эво­люция колеса, кото­рое, в отли­чие от пра­виль­ных много­уголь­ни­ков, едущих по цеп­ной линии, умеет пово­ра­чи­вать.

Натя­нем на два обруча, рас­по­ложен­ных в парал­лель­ных плос­ко­стях,  мыль­ную плёнку. Мыль­ная плёнка — уди­ви­тель­ный объект. Она лег­кая, внут­рен­ние силы гораздо силь­нее, чем сила тяже­сти, и вслед­ствие этого плёнка все­гда при­нимает вид поверх­но­сти, имеющей минималь­ную площадь при дан­ных гра­нич­ных усло­виях.

Как рас­по­ложится мыль­ная плёнка, натя­ну­тая на обручи? Ока­зы­ва­ется, это будет поверх­ность, обра­зо­ван­ная  враще­нием цеп­ной линии! Если изме­нять рас­сто­я­ние между плос­ко­стями обру­чей, то поверх­ность тоже будет меняться, но все­гда профиль её будет в виде цеп­ной линии дан­ной длины, под­вешен­ной на соот­вет­ственно рас­по­ложен­ные стол­бики. Дока­зал это в 1744 году Лео­нард Эйлер в сочи­не­нии «Метод нахож­де­ния кри­вых линий, обла­дающих свойствами мак­симума или минимума», а саму поверх­ность назвал кате­ноид (лат. catena — цепь; греч. έιδος — вид).

Лите­ра­тура

Гали­лей Г. Беседы и матема­ти­че­ские дока­за­тельства, касающи­еся двух новых отрас­лей науки, отно­сящихся к меха­нике и мест­ному движе­нию синьора Гали­лео Гали­лея Лин­чео, фило­софа и пер­вого матема­тика свет­лейшего вели­кого герцога тос­кан­ского. С при­ложе­нием о цен­трах тяже­сти раз­лич­ных тел. — М.—Л.: Госу­дар­ствен­ное тех­нико-тео­ре­ти­че­ское изда­тельство, 1934. — С. 273—274.

Другие этюды раздела «Замечательные кривые»