Раскраски и многогранники

Во сколько цве­тов можно покра­сить тор — поверх­ность буб­лика — так, чтобы любые два цвета имели общий уча­сток гра­ницы? Бывает ли многогран­ник, отлич­ный от тет­раэдра, у кото­рого любые две грани имеют общее ребро?

Сферу несложно покра­сить в четыре цвета так, чтобы любые два цвета имели общую гра­ницу. С точки зре­ния науки топо­логии, в кото­рой тела сде­ланы из тянущегося, но не рвущегося «пла­сти­лина», сфера экви­ва­лентна, напри­мер, тет­раэдру — многогран­нику, у кото­рого четыре грани, любые две грани имеют общее ребро, а любые две вершины соеди­нены общим реб­ром. Тет­раэдр из сферы можно сде­лать так, чтобы каж­дая грань была покрашена в свой цвет.

Раскраска сферы в четыре цвета
Раскраска сферы в четыре цвета
Раскраска сферы в четыре цвета

Возмож­ность рас­тяги­вать и изги­бать мате­риал поз­во­ляет пред­став­лять себе тор в виде прямо­уголь­ника, у кото­рого про­ти­вопо­лож­ные грани попарно скле­и­ваются при сво­ра­чи­ва­нии. Такая «раз­вёртка» удобна для изу­че­ния, а кар­тинку по прямо­уголь­нику можно смещать и по гори­зон­тали, и по вер­ти­кали как угодно.

Раскраска тора в семь цветов
Раскраска тора в семь цветов
Раскраска тора в семь цветов

Многогран­ник, соот­вет­ствующей такой рас­краске тора, был най­ден венгер­ским матема­ти­ком Ла́йошем Си́лашши (Lajos Szilassi) в 1977 году. Топо­логи­че­ски он пред­став­ляет собой полиэд­раль­ный тор — в нём есть одна дырка. В многогран­нике Силашши 7 гра­ней, любые две из кото­рых имеют общее ребро; 14 вершин, любые две из кото­рых соеди­нены реб­ром; коли­че­ство рёбер — 21.

Многогранник Силашши
Многогранник Силашши
Многогранник Силашши

Матема­ти­че­ская основа пред­став­лен­ных рас­кра­сок и многогран­ни­ков — топо­логи­че­ская тео­рия графов, изу­чающая какие графы можно нари­со­вать на каких поверх­но­стях. Самая извест­ная задача из этой обла­сти — задача о доми­ках и колод­цах. А вопрос о том, суще­ствуют ли многогран­ник, отлич­ный от тет­раэдра и многогран­ника Силашши, у кото­рого любые две грани имеют общее ребро, всё ещё оста­ется открытым.

Другие этюды раздела «Замечательные тела»