Сверление квадратных отверстий

В фильме  «Круг­лый тре­уголь­ник Рело» рас­ска­зы­ва­ется о фигу­рах, обла­дающих посто­ян­ной шири­ной. Именно  тре­уголь­ник Рело — про­стейшая фигура посто­ян­ной ширины — поможет нам в свер­ле­нии квад­рат­ных отвер­стий. Если двигать центр этого «тре­уголь­ника» по  некой тра­ек­то­рии, то его вершины  вычер­тят почти квад­рат, а сам он заме­тёт всю площадь внутри полу­чен­ной фигуры.

Гра­ницы полу­чен­ной фигуры, за исклю­че­нием небольших кусоч­ков по углам,  будут строго прямыми! И если про­должить отрезки, тем самым доба­вив уго­лочки, то  полу­чится в точ­но­сти квад­рат.

Для того, чтобы полу­чи­лось опи­сан­ное выше, центр тре­уголь­ника Рело нужно двигать по тра­ек­то­рии, являющейся склейкой из четырех оди­на­ко­вых  дуг эллип­сов. Цен­тры эллип­сов рас­по­ложены в верши­нах квад­рата, а полу­оси, повёр­ну­тые на угол $45^\circ$ отно­си­тельно сто­рон квад­рата, равны $k\cdot(1+1/\sqrt{3})/2$ и $k\cdot(1-1/\sqrt{3})/2$, где $k$ — длина сто­роны вычер­чи­ва­емого квад­рата.

Кри­вые, скруг­ляющие углы, также являются  дугами эллип­сов с цен­трами в углах квад­рата, их полу­оси повёр­нуты на угол $45^\circ$ отно­си­тельно сто­рон квад­рата и равны $k\cdot(\sqrt{3}+1)/2$ и $k\cdot(1/\sqrt{3}-1)/2$.

Площадь неза­ме­тён­ных уго­лоч­ков состав­ляет всего около 2% от площади всего квад­рата!

Теперь, если сде­лать сверло в виде тре­уголь­ника Рело, то можно будет свер­лить квад­рат­ные отвер­стия с немного скруг­лен­ными угол­ками, но абсо­лютно прямыми сто­ро­нами!

Оста­лось сде­лать такое сверло… Вер­нее, само-то сверло сде­лать несложно, нужно только чтобы оно напоми­нало в сече­нии тре­уголь­ник Рело, а режущие кромки совпа­дали с его верши­нами.

Труд­ность заклю­ча­ется в том, что, как уже было отме­чено выше, тра­ек­то­рия цен­тра сверла должна состо­ять из четырёх дуг эллип­сов. Визу­ально эта кри­вая очень похожа на окруж­ность и даже матема­ти­че­ски близка к ней, но всё же это не есть окруж­ность. А все экс­цен­трики (круг, поса­жен­ный на круг другого ради­уса со смещён­ным цен­тром), исполь­зу­емые в тех­нике, дают движе­ние строго по окруж­но­сти.

В 1914 году английский инже­нер Гарри Джеймс Уаттс при­думы­вает, как устро­ить такое свер­ле­ние. На поверх­ность он накла­ды­вает направ­ляющий шаб­лон с про­ре­зью в виде квад­рата, в кото­ром ходит сверло, встав­лен­ное в патрон со «сво­бодно пла­вающим в нём свер­лом». Патент на такой патрон был выдан фирме, начавший изго­тов­ле­ние свёрл Уаттса в 1916 году.

Дже­ро­ламо КАР­ДАНО 1501—1576

Когда в 1541 году импе­ра­тор Карл V три­умфально вошёл в заво­ё­ван­ный Милан, рек­тор кол­легии вра­чей Кар­дано шёл рядом с бал­да­хи­ном. В ответ на ока­зан­ную честь он пред­ложил снаб­дить коро­лев­ский экипаж под­вес­кой из двух валов, каче­ние кото­рых не выве­дет карету из гори­зон­таль­ного положе­ния […]. Спра­вед­ли­вость тре­бует отме­тить, что идея такой системы вос­хо­дит к антич­но­сти и что по край­ней мере в «Атлан­ти­че­ском кодексе» Лео­нардо да Винчи име­ется рису­нок судо­вого компаса с кар­дан­ным под­ве­сом. Такие компасы полу­чили рас­про­стра­не­ние в пер­вой поло­вине XVI века, по-видимому, без вли­я­ния Кар­дано.

Гин­ди­кин С. Г. Рас­сказы о физи­ках и матема­ти­ках.

Мы же восполь­зу­емся дру­гой извест­ной кон­струкцией. При­крепим  сверло жёстко к тре­уголь­нику Рело, помещён­ному в квад­рат­ную направ­ляющую рамку. Сама рамка  фик­си­ру­ется на дрели. Оста­лось теперь пере­дать враще­ние патрона дрели тре­уголь­нику Рело.

Помогает решить эту тех­ни­че­скую про­блему кон­струкция, кото­рую вы навер­няка много раз видели под днищем про­езжавших по улице гру­зо­вых автомо­би­лей —  кар­дан­ный вал. Эта пере­дача полу­чила своё назва­ние в честь Дже­ро­ламо Кар­дано.

Теперь у нас всё готово к свер­ле­нию. Возьмём фанер­ный лист и… высвер­лим  квад­рат­ное отвер­стие! Как уже гово­ри­лось, сто­роны будут  строго прямыми и лишь уголки немного скруг­лены. При необ­хо­димо­сти их можно подпра­вить надфи­лем.

Лите­ра­тура

Weisstein E. Reuleaux Triangle.

Гин­ди­кин С. Г. Рас­сказы о физи­ках и матема­ти­ках. — М. : МЦНМО, 2006.

Смотри также

Фигуры посто­ян­ной ширины // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 84—85, 319—320.

Другие этюды раздела «Кривые (фигуры) постоянной ширины»