Гёмбёц

Дет­ская игрушка «Нева­ляшка» имеет един­ствен­ное положе­ние (точку) устой­чи­вого рав­но­ве­сия. Эти слова озна­чают, что если вы немного откло­ните нева­ляшку, то она все­гда вер­нётся в исход­ное положе­ние.

В финале 2018 года игры «Что? Где? Когда?» в решающем раунде при счёте 5:5 выпал вопрос воспи­та­тель­ницы дет­ского сада: «У нас за кули­сами нахо­дится то, в верх­ней части чего на про­во­локе под­вешена метал­ли­че­ская пла­стина. А в ниж­ней части нахо­дится цилиндр из плот­ного кар­тона с бал­ла­стом, в кото­рый встав­лены метал­ли­че­ские пру­тья, по кото­рым при опре­де­лён­ных усло­виях может уда­рять выше­упомя­ну­тая пла­стина. Что у нас за кули­сами?». Зна­токи не дали пра­виль­ного ответа и про­иг­рали.

Ниж­няя сфера нева­ляшки явля­ется сбор­ной. К полю­сам верх­ней и ниж­ней полу­сфер при­кле­и­ваются «таре­лочки», наде­вающи­еся на цилиндр из плот­ного кар­тона, кото­рый и фик­си­рует положе­ние полу­сфер. Внутри цилин­дра в ниж­ней части есть свинцо­вое кольцо, в кото­рое встав­лены метал­ли­че­ские пру­тья раз­лич­ной длины. Метал­ли­че­ская круг­лая пла­стина, под­вешен­ная к верх­ней точке сферы как маят­ник, при кача­нии уда­ря­ется о пру­тья, и ребё­нок слышит пере­ливы звука (так как стержни раз­ной длины). Отме­тим, что хотя устройство нева­ляшки в целом по миру оди­на­ково, не во всех стра­нах их делают музыкаль­ными. А вот положе­ние устой­чи­вого рав­но­ве­сия достига­ется все­гда оди­на­ково — за счёт смещён­ного цен­тра тяже­сти.

Неваляшка
Неваляшка
Неваляшка

В 1995 году вели­кий рос­сийский матема­тик и попу­ля­ри­за­тор матема­тики Вла­ди­мир Иго­ре­вич Арнольд задал сле­дующий вопрос. Бывают ли выпук­лые одно­род­ные тела, имеющие един­ствен­ную точку устой­чи­вого рав­но­ве­сия? Выпук­лость необ­хо­дима, иначе можно сде­лать углуб­ле­ние, ямку, на кото­рую и поста­вить тело. А положе­ние устой­чи­вого рав­но­ве­сия должно достигаться не за счёт смеще­ния цен­тра тяже­сти, как в нева­ляшке, а только за счёт формы, так как тело одно­род­ное, т. е. сде­лано из мате­ри­ала одной плот­но­сти.

Ответ на этот вопрос дали венгер­ские матема­тики G. Domokos и P. L. Várkonyi, пред­ста­вив в 2006 году одно­род­ное тело, назван­ное ими Gömböc.

Гёмбёц
Гёмбёц
Гёмбёц

У Gömböc есть един­ствен­ное положе­ние устой­чи­вого рав­но­ве­сия. Как и у нева­ляшки, у этого тела есть ещё одно положе­ние неустой­чи­вого рав­но­ве­сия. Если и нева­ляшку, и гём­бёц акку­ратно очень точно поста­вить вер­ти­кально «на голову», то это будет точка рав­но­ве­сия. Но это положе­ние неустой­чиво — если выве­сти тело из этого положе­ния, то тело не вер­нётся к этому положе­нию.

Самый пер­вый гём­бёц с номе­ром 1 был пода­рен Вла­ди­миру Иго­ре­вичу Арнольду на конфе­ренции в честь его 70-летия, про­хо­дившей в авгу­сте 2007 года (сде­лан­ные на 3D-прин­тере модели внутри имеют гра­ви­ровку: назва­ние и номер). Теперь этот экземпляр хра­нится в лабо­ра­то­рии попу­ля­ри­за­ции и про­паганды матема­тики Матема­ти­че­ского инсти­тута им. В. А. Стек­лова РАН.

Смотри также

Gömböc

Другие этюды раздела «Замечательные тела»