Задача о бутерброде

Можно ли бутер­брод из хлеба, сыра и кол­басы  раз­ре­зать одной плос­ко­стью так, чтобы в обеих частях было оди­на­ко­вое (по объёму) коли­че­ство кол­басы, а также оди­на­ко­вое коли­че­ство сыра и хлеба? Ока­зы­ва­ется, что можно...

Рас­смот­рим сна­чала задачу в двумер­ном слу­чае. На плос­ко­сти есть две про­из­воль­ные обла­сти. Суще­ствует ли прямая,  делящая ровно попо­лам по площади и первую область, и (одно­временно) вто­рую?

Докажем, что суще­ствует. Для этого пора­бо­таем вна­чале с одной из дан­ных обла­стей. Выбе­рем про­из­воль­ное направ­ле­ние. Суще­ствует ли прямая, парал­лель­ная этому направ­ле­нию, кото­рая делит область попо­лам? Покажем, что такая прямая для любого направ­ле­ния все­гда най­дётся. Про­ве­дём прямую выше обла­сти так, чтобы она была пол­но­стью с одной сто­роны. Будем стро­ить графики — площадь обла­сти справа и слева от прямой (она у нас направ­лен­ная, поэтому «право» и «лево» опре­де­лены). Сей­час вся область справа от прямой, и, зна­чит, один стол­бец соот­вет­ствует пол­ной площади кляксы, а вто­рой стол­бец — нуле­вой. Нач­нём двигать прямую вправо так, чтобы она все­гда была парал­лельна выбран­ному направ­ле­нию. По мере про­хож­де­ния обла­сти площадь справа будет  непре­рывно уменьшатся, а площадь слева от прямой — непре­рывно уве­ли­чи­ваться. В какой-то момент вся область оста­нется слева. Синий стол­бец будет соот­вет­ство­вать пол­ной площади обла­сти, а корич­не­вый будет нуле­вым.

Посмот­рим на полу­чен­ные графики площа­дей справа и слева от прямой. Так как они непре­рывны, то где-то суще­ствует  точка пере­се­че­ния. Она и соот­вет­ствует искомой прямой — делящей площадь обла­сти попо­лам и парал­лель­ной изна­чально выбран­ному направ­ле­нию.

Так как направ­ле­ние выби­ра­лось про­из­воль­ное, то, зна­чит, прямая, делящая одну область попо­лам, суще­ствует в любом направ­ле­нии.

Вер­нёмся к двум обла­стям. Будем рас­смат­ри­вать только те прямые, кото­рые делят левую область попо­лам. Рас­смот­рим такую прямую, кото­рая гори­зон­тальна и направ­лена вправо. Она как-то поде­лит пра­вую область. Будем смот­реть за графи­ком раз­ницы площа­дей пра­вой обла­сти — площадь пра­вее прямой минус площадь левее прямой. Сей­час эта раз­ность  отрица­тельна. Про­бежимся по направ­ле­ниям от нуля до пол­ного угла. В этом конеч­ном положе­нии геомет­ри­че­ски прямая совпа­дает с изна­чаль­ной, а вот «право»—«лево» поме­ня­лись местами. И теперь зна­че­ние рас­смат­ри­ва­емой раз­но­сти  положи­тельно. Так как раз­ность меня­лась непре­рывно, то, зна­чит, её график где-то  пере­сёк нуле­вое зна­че­ние. И этому зна­че­нию соот­вет­ствует прямая, делящая пра­вую область ровно попо­лам. Так как мы рас­смат­ри­вали только те прямые, кото­рые делят попо­лам левую область, то, зна­чит, мы нашли искомую прямую. Она делит и левую, и пра­вую обла­сти  одно­временно попо­лам по площади.

Вот так исполь­зу­ется тео­рема Больца­но—­Коши. К сожа­ле­нию, она некон­струк­тивна. И как про­хо­дит эта прямая в зави­симо­сти от рас­смат­ри­ва­емых обла­стей, без при­вле­че­ния каких-то допол­ни­тель­ных идей, ска­зать нельзя. Но для любых обла­стей дока­зано, что она суще­ствует! По типу такие тео­ремы ещё назы­вают тео­ремами суще­ство­ва­ния.

Перей­дём к рас­смот­ре­нию трёхмер­ного слу­чая. Вме­сто двух обла­стей на двумер­ной плос­ко­сти в трёхмер­ном про­стран­стве рас­смот­рим три про­из­воль­ных тела, про­из­вольно рас­по­ложен­ных друг отно­си­тельно друга. Вме­сто площа­дей — объёмы. Ока­зы­ва­ется, и в этом слу­чае похожим рас­суж­де­нием, что мы исполь­зо­вали для плос­ко­сти, можно дока­зать подоб­ную тео­рему суще­ство­ва­ния. Для любых трёх тел суще­ствует плос­кость, кото­рая каж­дое из тел делит по объёму ровно попо­лам.

Чтобы жизнь была вкус­нее, рас­смот­рим бутер­брод из хлеба, сыра и кол­басы. Три тела, как-то рас­по­ложен­ных друг отно­си­тельно друга. Попро­буйте дока­зать, что  суще­ствует плос­кость, делящая и кол­басу ровно попо­лам, и одно­временно сыр и хлеб тоже ровно попо­лам. С при­вле­че­нием допол­ни­тель­ных рас­суж­де­ний, для бутер­брода, пред­став­лен­ного в фильме, такая плос­кость была най­дена и, действи­тельно, после про­верки видно, что все три тела поде­лены ровно попо­лам!

Другие этюды раздела «Непрерывность»