Теорема о косточке

Если раз­ре­зать мякоть пер­сика где-то рядом с концом косточки, а затем около эква­тора, — в каком месте площадь мякоти будет больше? «Тео­рема о косточке» утвер­ждает, что площадь среза будет оди­на­кова: она не зави­сит от уровня среза!

Модель круга, раз­де­лён­ного на кольца рав­ной площади, можно встре­тить в раз­лич­ных музеях матема­тики. Пер­вое оче­вид­ное наблю­де­ние: чем кольцо дальше от цен­тра, тем оно у́же. А допол­няет модель «про­зрачка» с отме­чен­ными каса­тель­ными, идущими внутри каж­дого кольца. Вто­рое, уже не столь оче­вид­ное наблю­де­ние: длины отме­чен­ных отрез­ков равны.

Уди­ви­тель­ный факт: площадь кольца опре­де­ля­ется только дли­ной этого каса­тель­ного отрезка, заме­тающего кольцо. Убе­диться в этом можно, восполь­зо­вавшись тео­ремой Пифагора.

Кольца равной площади
Кольца равной площади
Кольца равной площади

Сформу­ли­ро­ван­ное утвер­жде­ние о площади кольца пред­став­ляет собой про­стейший слу­чай «вело­сипед­ной тео­ремы Мами­кона»: если вело­сипед с рамой длины $d$ про­ехал так, что следы и от перед­него, и от зад­него колеса обра­зуют замкну­тые кри­вые, то заклю­чён­ная между ними площадь не зави­сит от того, что это за кри­вые, и все­гда равна $\pi d^2$. (Счи­та­ется, что зад­нее колесо не про­скаль­зы­вает и поэтому рама во всех точ­ках явля­ется каса­тель­ной к следу зад­него колеса.) В нашем слу­чае рама вело­сипеда — рас­смот­рен­ный отре­зок каса­тель­ной, тра­ек­то­рия зад­него колеса — меньшая окруж­ность кольца, а перед­него — большая окруж­ность кольца; площадь кольца опре­де­ля­ется только дли­ной $d$.

Зави­симость площади кольца только от длины каса­тель­ной имеет инте­рес­ное след­ствие в трёхмер­ном про­стран­стве. Пред­ста­вим, что на цен­траль­ном круге рас­смот­рен­ной модели и сле­дующем кольце постро­ены концен­три­че­ские сферы (полу­сферы). Внут­рен­няя сфера — матема­ти­че­ский образ косточки, внеш­няя — поверх­но­сти пер­сика. Площадь «мякоти» на срезе — площадь кольца между сфе­рами при сече­нии плос­ко­стью, захва­ты­вающем внут­рен­нюю сферу.

Теорема о косточке
Теорема о косточке

Про­сле­дим, как площадь кольца зави­сит от уровня секущей плос­ко­сти. Для этого рас­смот­рим прямо­уголь­ный тре­уголь­ник с верши­ной в цен­тре сфер и одним кате­том, лежащим в кольце и каса­тель­ным к внут­рен­ней сфере. Площадь кольца, как мы уже знаем, опре­де­ля­ется только дли­ной этого катета — того самого отрезка $d$ из плос­кого слу­чая, «дощечки». Две другие сто­роны прямо­уголь­ного тре­уголь­ника посто­янны — равны ради­у­сам сфер. А зна­чит, длина рас­смат­ри­ва­емого катета не зави­сит от уровня сече­ния. Площади всех колец оди­на­ковы и не зави­сят от уровня плос­ко­сти: площадь «узкого» кольца у эква­тора и площадь «широ­кого» кольца, лишь немного захва­ты­вающего косточку, — равны!

Теорема о косточке
Теорема о косточке

Сформу­ли­ро­ван­ная «тео­рема о косточке» поз­во­ляет посчи­тать площадь сферы. Для этого вме­сте с двумя концен­три­че­скими сфе­рами рас­смот­рим два «концен­три­че­ских» цилин­дра с ради­у­сами, рав­ными ради­у­сам сфер, и высо­той, рав­ной диаметру внеш­ней сферы. В сече­нии, перпен­ди­ку­ляр­ном оси цилин­дров, площадь кольца между сфе­рами равна площади кольца между цилин­драми и эти площади остаются посто­ян­ными вне зави­симо­сти от уровня плос­ко­сти.

Площадь сферы
Площадь сферы

При при­ближе­нии ради­уса внут­рен­них фигур к внеш­ним объём «мякоти» ста­но­вится всё меньше. В какой-то момент этот объём можно пред­став­лять себе как объём краски, нано­симой на поверх­ность. Как гово­рят, «в пре­деле» этот объём перей­дёт в площадь рас­смат­ри­ва­емых тел. И зна­чит, площадь сферы равна площади цилин­дра того же ради­уса и высоты. Но площадь цилин­дра — поверх­но­сти, раз­во­ра­чи­ва­емой на плос­кость, — под­счи­ты­ва­ется легко: про­из­ве­де­ние длины окруж­но­сти в осно­ва­нии на длину высоты. Зна­чит, площадь сферы ради­уса $R$ равна $4\pi R^2$.

Лите­ра­тура

Мер­зон Г. Пифагор на вело­сипеде // Жур­нал «Кван­тик». — 2019. — № 8. — Стр. 16—17.

Акопян А. Апель­сины, кана­ли­за­ци­он­ные люки и раз­ре­за­ние длин­ного прямо­уголь­ника // Жур­нал «Квант». — 2021. — № 9. — Стр. 40—43.

Apostol Tom M., Mnatsakanian Mamikon A. New Horizons in Geometry. — Mathematical Association of America, 2013. — ISBN 9781614442103.

Площадь на сфере: сферы, шапочки, кольца // Матема­ти­че­ские этюды.