Геодезические на правильных многогранниках

Модель Доде­каэдра Штейнгауза, скла­ды­вающегося из двух поло­ви­нок при сжа­тии резинки, действи­тельно заво­ражи­вает. После нескольких экс­пе­римен­тов с наи­бо­лее эффект­ным скла­ды­ва­нием — под­бра­сы­ва­нием модели — можно задуматься о том, как рас­по­лага­ется резинка на поверх­но­сти доде­каэдра.

Окон­ча­тель­ное устой­чи­вое положе­ние резинки явля­ется крат­чайшим путём (гео­де­зи­че­ской) на доде­каэдре. Это положе­ние харак­те­ри­зу­ется тем, что для любой пары смеж­ных гра­ней, через кото­рые прошла резинка, углы между резин­кой и реб­ром равны — ей «не хочется» смещаться отно­си­тельно ребра. Бывают ли другие устой­чи­вые положе­ния резинки на доде­каэдре? Все ли они лежат в какой-то плос­ко­сти, как в модели? Какие замкну­тые гео­де­зи­че­ские бывают на других пра­виль­ных многогран­ни­ках и сколько их бывает?

Из «науч­ного» опре­де­ле­ния гео­де­зи­че­ской как локально-крат­чайшей кри­вой на поверх­но­сти сле­дует, что на грани многогран­ника гео­де­зи­че­ская это про­сто отре­зок, а два сосед­них звена гео­де­зи­че­ской обра­зуют рав­ные углы с реб­ром, кото­рое они пере­се­кают. Таким обра­зом, неса­мопе­ре­се­кающа­яся замкну­тая гео­де­зи­че­ская пред­став­ля­ется на раз­вертке многогран­ника отрез­ком, соеди­няющим «одну и ту же точку» на скле­и­ва­емых друг с другом парал­лель­ных рёб­рах и не про­хо­дящим через вершины. И можно изу­чать такие отрезки.

Грани пра­виль­ных многогран­ни­ков — пра­виль­ные много­уголь­ники. У тет­раэдра, октаэдра и ико­саэдра — пра­виль­ные тре­уголь­ники, у куба — квад­раты. И тре­уголь­ни­ками, и квад­ра­тами можно замо­стить плос­кость, а раз­вёртки этих четырёх пра­виль­ных многогран­ни­ков являются под­множе­ствами соот­вет­ствующих пери­о­ди­че­ских замоще­ний плос­ко­сти. Это даёт допол­ни­тель­ные методы для поиска гео­де­зи­че­ских.

У (пра­виль­ного) тет­раэдра бес­ко­нечно много замкну­тых гео­де­зи­че­ских и среди них есть сколь угодно длин­ные! Почув­ство­вать нетри­ви­аль­ность задачи можно, срав­нив это со сле­дующим утвер­жде­нием: пра­виль­ная тре­уголь­ная пирамида, не являюща­яся пра­виль­ным тет­раэд­ром, не имеет ни одной гео­де­зи­че­ской — как резинку ни натяни, она все­гда спол­зёт.

На кубе — три замкну­тых гео­де­зи­че­ских. Две из них уга­ды­ваются легко: квад­рат­ное сече­ние куба, перпен­ди­ку­ляр­ное соеди­няющему цен­тры про­ти­вопо­лож­ных гра­ней куба отрезку, и шести­уголь­ное сече­ние куба, перпен­ди­ку­ляр­ное диаго­нали куба. На этих про­стых слу­чаях обра­тим внима­ние чита­теля, что вме­сте с одной гео­де­зи­че­ской воз­ни­кает целое семейство «таких же» (и их не раз­ли­чают) — плос­кость сече­ния можно сдвигать, вдоль ука­зан­ных отрез­ков. А попро­буйте найти тре­тью гео­де­зи­че­скую на кубе, не загля­ды­вая в ста­тью В. Ю. Про­та­сова в жур­нале «Квант»! (В этой ста­тье подробно разо­бран уди­ви­тель­ный слу­чай тет­раэдра; пред­став­лены гео­де­зи­че­ские для куба и октаэдра.)

На октаэдре гео­де­зи­че­ских всего две, а на ико­саэдре — три. При­чём у каж­дого из этих многогран­ни­ков только по одной плос­кой гео­де­зи­че­ской — полу­чающейся сече­нием поверх­но­сти многогран­ника плос­ко­стью. Другие — более замыс­ло­ва­тые, неплос­кие. (Посмот­реть гео­де­зи­че­ские на ико­саэдре можно в ста­тье Д. Б. Фукса и Е. Д. Фукс.)

А что же с доде­каэд­ром? Его грани — пра­виль­ные пяти­уголь­ники, замо­стить плос­кость ими нельзя. Но можно рас­смат­ри­вать раз­лич­ные раз­вёртки доде­каэдра на плос­ко­сти и искать отрезки, про­хо­дящие через несколько гра­ней, и удо­вле­тво­ряющие сформу­ли­ро­ван­ному в начале свойству.

Най­дено пять раз­лич­ных неса­мопе­ре­се­кающихся замкну­тых гео­де­зи­че­ских на доде­каэдре, из кото­рых две — плос­кие.

Геодезические на додекаэдре

Одна хорошо нам зна­кома — та самая рези­ночка, кото­рая стяги­вала доде­каэдр в модели Штейнгауза. Она про­хо­дит через все грани, кроме двух про­ти­вопо­лож­ных, и перпен­ди­ку­лярна отрезку, соеди­няющему цен­тры этих двух гра­ней.

Геодезические на додекаэдре
Геодезические на додекаэдре

Ещё одна плос­кая гео­де­зи­че­ская перпен­ди­ку­лярна диаго­нали доде­каэдра и про­хо­дит по шести его гра­ням.

Геодезические на додекаэдре
Геодезические на додекаэдре

Все три неплос­кие гео­де­зи­че­ские про­хо­дят по 8 гра­ням доде­каэдра.

Геодезические на додекаэдре
Геодезические на додекаэдре
Геодезические на додекаэдре
Геодезические на додекаэдре
Геодезические на додекаэдре
Геодезические на додекаэдре

Напом­ним, что, говоря о какой-то неса­мопе­ре­се­кающейся замкну­той гео­де­зи­че­ской, мы имеем в виду целое семейство одно­тип­ных гео­де­зи­че­ских. Они про­хо­дят через одни и те же рёбра, в одной и той же после­до­ва­тель­но­сти. На поверх­но­сти многогран­ника и на его раз­вёртке такое семейство пред­став­ля­ется поло­сой.

Обра­тите внима­ние на годы пуб­ли­каций при­ве­дён­ных ста­тей, почи­тайте ста­тью в «Кванте». Хотя гео­де­зи­че­ские на поверх­но­стях изу­чаются очень давно, многие инте­рес­ные факты были дока­заны в послед­ние годы.

Лите­ра­тура

Про­та­сов В. Ю. Крат­чайшие пути и гипо­теза Пуан­каре // Жур­нал «Квант». — 2020. — № 11—12. — Стр. 8—12; — 2021. — № 1. — Стр. 12—22.

Про­та­сов В. Ю. Замкну­тые гео­де­зи­че­ские на поверх­но­сти сим­плекса // Матема­ти­че­ский сбор­ник. — 2007. — Т. 198, № 2. — Стр. 103—120.

Про­та­сов В. Ю. О числе замкну­тых гео­де­зи­че­ских на многогран­нике // Успехи матема­ти­че­ских наук. — 2008. — Т. 63, № 5. — Стр. 197—198.

Fuchs D., Fuchs E. Closed geodesics on regular polyhedral // Moscow Mathematical Journal. — 2007. — V. 7, № 2. — P. 265—279.

Fuchs D. Geodesics on a regular dodecahedron.

Другие этюды раздела «Внутренняя геометрия многогранников»