Додекаэдр Штейнгауза‍

Доде­каэдр (от гре­че­ского δώδεκα — две­на­дцать и εδρον — грань) — один из пяти пра­виль­ных многогран­ни­ков. У доде­каэдра 12 гра­ней, являющихся пра­виль­ными пяти­уголь­ни­ками, 30 рёбер, 20 вершин.

Инте­рес­ная и эффект­ная модель доде­каэдра пред­ложена в книге польского матема­тика Гуго Штейнгауза «Матема­ти­че­ский калей­до­скоп» (пер­вое изда­ние на рус­ском языке: Москва—­Ле­нинград, 1949). Она состоит из двух поло­ви­нок доде­каэдра и резинки.

Модель можно сде­лать из двух скле­ен­ных слоёв тол­стого кар­тона: ниж­ний слой — осно­ва­ние — каж­дой поло­винки доде­каэдра цель­ный, а верх­ний состоит из отдель­ных пра­виль­ных пяти­уголь­ни­ков, при­кле­ен­ных к осно­ва­нию. Удобно исполь­зо­вать кольце­вую канце­ляр­скую резинку. В этом слу­чае ребро доде­каэдра должно быть около 5 сан­тимет­ров. Для изго­тов­ле­ния можно взять раз­вёртку поло­вины доде­каэдра, рас­пе­ча­тан­ную на обыч­ном листе бумаги, и исполь­зо­вать её для выре­за­ния дета­лей из кар­тона.

При демон­страции модели две поло­винки при­кла­ды­ваются друг к другу, затем одна пово­ра­чи­ва­ется отно­си­тельно дру­гой. При­держи­вая кон­струкцию в сложен­ном состо­я­нии одной рукой, вто­рой рукой резинку надо про­тя­нуть «через один уго­лок» — один сверху, один снизу и т. д.

Если теперь модель отпу­стить, напри­мер, под­бро­сив, резинка стя­нет поло­винки, пре­вра­тив плос­кую кон­струкцию в пра­виль­ный доде­каэдр.

Окон­ча­тель­ное устой­чи­вое положе­ние резинки явля­ется крат­чайшим путём (гео­де­зи­че­ской) на доде­каэдре. Это положе­ние харак­те­ри­зу­ется тем, что для любой пары смеж­ных гра­ней углы между резин­кой и реб­ром равны, и ей «не хочется» смещаться отно­си­тельно ребра.