Изгибаемые многогранники

Если вам при­хо­ди­лось соби­рать дома шкаф, то вы пре­красно пом­ните, что пока не при­бита зад­няя стенка, он  изги­ба­ется. Как только  зад­няя стенка постав­лена на место, шкаф — неза­мкну­тый многогран­ник с краем — ста­но­вится жёст­ким. Если к нему доба­вить перед­нюю стенку или сде­лать на крае любую другую над­стройку, замы­кающую многогран­ник, то жёст­кость, конечно, оста­нется.

Бывают ли замкну­тые изги­ба­емые многогран­ники?

Ответ на этот вопрос долго не могли найти. Как обычно в науке, при иссле­до­ва­нии задачи сле­дует рас­смот­реть более про­стой слу­чай. В слу­чае задачи об изги­ба­емых многогран­ни­ках — рас­смот­реть задачу не в про­стран­стве, а на плос­ко­сти, где ана­логом многогран­ника явля­ется много­уголь­ник.

Бывают ли изги­ба­емые много­уголь­ники? Т.е. такие, у кото­рых сто­роны фик­си­ро­ваны, в углах возможно изги­ба­ние (в плос­ко­сти), а сами много­уголь­ники меняют форму? Такую модель каж­дый может изго­то­вить из про­во­локи, исполь­зуя  стан­дарт­ное соеди­не­ние в углах.

Если таким спо­со­бом сде­лать тре­уголь­ник, то он не будет изги­баться. Т.е. длины сто­рон пол­но­стью опре­де­ляют тре­уголь­ник. А зна­чит, опре­де­ляют и его площадь —  формула Герона поз­во­ляет вычис­лять её, исходя только из длин сто­рон.

Если же сде­лать про­во­лоч­ный четырёх- или пяти­уголь­ник, или же много­уголь­ник с бóльшим коли­че­ством вершин, то любой из них  будет изги­баться. Как след­ствие, ана­лога формулы Герона — формулы для вычис­ле­ния площади много­уголь­ника, исходя только из длин сто­рон — при коли­че­стве углов большем трёх, быть не может.

Вер­нёмся в про­стран­ство. Что же такое изги­ба­емый многогран­ник, если он суще­ствует? По ана­логии с плос­кой зада­чей, грани (имеющие размер­ность на еди­ницу меньше размер­но­сти про­стран­ства) должны быть жёст­кими пла­сти­нами. А дву­гран­ный угол, соеди­няющий любые две грани, должен иметь возмож­ность меняться, как будто ребро («грань», имеющая размер­ность один) реа­ли­зо­вано с помощью  рояль­ной петли.

Давайте рас­смот­рим пра­виль­ные многогран­ники. Если сде­лать их модели «на рояль­ных пет­лях» в каче­стве ребер, то можно убе­диться, что изги­баться они не будут. Ока­зы­ва­ется, это общий факт для выпук­лых многогран­ни­ков. Тео­рема, дока­зан­ная фран­цуз­ским матема­ти­ком Огю­сте­ном Луи Коши (1789—1857) в 1813 году, гово­рит о том, что выпук­лый многогран­ник с дан­ным набо­ром гра­ней и усло­ви­ями их склейки един­стве­нен. Т.е. выпук­лый многогран­ник изги­ба­емым не бывает.

Пер­вые матема­ти­че­ские при­меры изги­ба­емых многогран­ни­ков, есте­ственно, невыпук­лых, а также клас­сифи­кация этих объек­тов были постро­ены бельгийским инже­не­ром Рене Бри­ка­ром в 1897 году. Матема­ти­че­ские, потому что эти многогран­ники были не только невыпук­лыми, но и самопе­ре­се­кающи­мися — их грани пере­се­ка­лись друг с другом. С точки зре­ния матема­тика, это тоже многогран­ник, однако реа­ли­зо­вать его в нашем трёхмер­ном про­стран­стве невозможно. В 1975 году аме­ри­кан­ский матема­тик Роберт Кон­нелли при­думал, как изба­виться от пере­се­че­ния (так назы­ва­емые «зарубки Кон­нелли»), и появи­лись «насто­ящие» изги­ба­емые многогран­ники. Самый про­стой, извест­ный на сего­дняш­ний день, состо­ящий из 9 вершин, 17 рёбер и 14 гра­ней, будет сей­час построен. Его в 1978 году при­думал немец­кий матема­тик Клаус Штеффен.

Раз­вёртка многогран­ника Штеффена состоит из  двух оди­на­ко­вых частей и «крышки». Даже помня внеш­ний вид раз­вёртки, но не зная длин рёбер, постро­ить такой многогран­ник самому сложно: возмож­ность изги­баться — это всё же исклю­че­ние для многогран­ни­ков, и таких отно­си­тельно мало.

Можно пока­зать, что неса­мопе­ре­се­кающийся многогран­ник с 7 и меньшим чис­лом вершин изги­баться не может. Опи­сан­ный изги­ба­емый многогран­ник Штеффена имеет 9 вершин. А вот бывает ли изги­ба­емый неса­мопе­ре­се­кающийся многогран­ник с 8 верши­нами до сих пор неиз­вестно.

Когда матема­тики поняли, что изги­ба­емые многогран­ники бывают, воз­ник вопрос, полу­чивший назва­ние «гипо­тезы куз­неч­ных мехов». За счёт чего куз­неч­ные мехи раз­ду­вают угли? За счёт чего  играет гар­монь? Их принцип действия осно­ван на  изме­не­нии внут­рен­него объёма. А что же изги­ба­емые многогран­ники — будет ли меняться их объём при изги­ба­нии? Можно ли куз­неч­ные мехи или гар­монь делать не из кожи, а из жёст­ких пла­стин, в виде многогран­ни­ков?

В конце XX века пол­ный ответ на этот вопрос был най­ден рос­сийским матема­ти­ком И. Х. Саби­то­вым. Ока­зы­ва­ется, для объёмов многогран­ни­ков, в том числе изги­ба­емых, верен некий ана­лог формулы Герона для площади тре­уголь­ника. А именно, суще­ствует такой много­член одной перемен­ной, что его коэффици­енты зави­сят только от длин рёбер многогран­ника, а объём есть корень этого много­члена. Так как рёбра у изги­ба­емых многогран­ни­ков не меняются, то и сам этот много­член, а зна­чит, и его корни не меняются при изги­ба­нии самого многогран­ника. Но раз­лич­ные корни много­члена одной перемен­ной суть кон­крет­ные числа, рас­по­ложен­ные друг от друга на каком-то рас­сто­я­нии. При малых шеве­ле­ниях многогран­ника объём может меняться мало, поэтому не может резко пере­прыг­нуть из одного корня много­члена в дру­гой. Зна­чит, объём изги­ба­емых многогран­ни­ков не меня­ется при их изги­ба­ниях!

Мы рас­смот­рели вопрос об изги­ба­емых многогран­ни­ках в обыч­ном трёхмер­ном про­стран­стве. А что про­ис­хо­дит в бóльших размер­но­стях?

В цикле работ 2012—2015 годов рос­сийский матема­тик Алек­сандр Гайфул­лин обобщил результаты на многомер­ные про­стран­ства. Несложно пока­зать, что в про­стран­стве размер­но­сти $n$ изги­ба­емый многогран­ник не может иметь меньше $2n$ вершин. А. Гайфул­лин дока­зал суще­ство­ва­ние изги­ба­емых многогран­ни­ков в про­стран­ствах любой размер­но­сти опи­сав все (в том числе самопе­ре­се­кающи­еся) $n$—мер­ные изги­ба­емые многогран­ники ровно с $2n$ верши­нами. При­чём сде­лал это в каж­дом из трёх многомер­ных про­странств посто­ян­ной кри­визны: евкли­до­вом — про­стран­стве нуле­вой кри­визны, являющимся обобще­нием нашего обыч­ного про­стран­ства; про­стран­стве Лоба­чев­ского — про­стран­стве посто­ян­ной отрица­тель­ной кри­визны; сфе­ри­че­ском — про­стран­стве посто­ян­ной положи­тель­ной кри­визны.

В про­стран­ствах посто­ян­ной положи­тель­ной кри­визны объём изги­ба­емых многогран­ни­ков уже не обя­за­тельно посто­я­нен (даже в размер­но­сти 3). А в про­стран­ствах Лоба­чев­ского (посто­ян­ной отрица­тель­ной кри­визны) посто­ян­ство объёма уда­лось дока­зать лишь в размер­но­стях 3, 5, 7, … (нечёт­ных). В чёт­ных же размер­но­стях при­ме­ров изги­ба­емых многогран­ни­ков с изме­няющимся объёмом неиз­вестно, но и дока­зать его посто­ян­ство тоже пока не уда­лось.

Да и в евкли­до­вых про­стран­ствах остаются нерешён­ные задачи. Напри­мер, в размер­но­стях начи­ная с 4 все извест­ные изги­ба­емые многогран­ники — самопе­ре­се­кающи­еся. Суще­ствуют ли неса­мопе­ре­се­кающи­еся, — неиз­вестно.

Лите­ра­тура

Дол­би­лин Н. П. Жем­чужины тео­рии многогран­ни­ков. — М. : МЦНМО, 2000.

Дол­би­лин Н. П. Три тео­ремы о выпук­лых многогран­ни­ках.

Часть 1 // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7—12.

Часть 2 // Квант. — 2001. — № 6. — С. 3—10.

Саби­тов И. Х. Объёмы многогран­ни­ков. — М. : МЦНМО, 2002.

Залгал­лер В. Непре­рывно изги­ба­емый многогран­ник // Квант. — 1978. — № 9. — С. 13—19.

Другие этюды раздела «Внешняя геометрия многогранников»