Главной характеристикой вершины выпуклого многогранника является «угловой дефект» в этой точке.
Окружность небольшого радиуса с центром в точке на грани многогранника будет иметь длину $2\pi r$, а круг, ограничиваемый этой окружностью, будет прилегать к поверхности.
Даже если круг сдвинуть так, чтобы он свешивался через ребро, он будет прилегать к поверхности многогранника.
Но если в качестве центра круга взять вершину выпуклого многогранника, то невозможно приложить круг к поверхности многогранника без складок. Окружность — множество всех точек поверхности выпуклого многогранника, одинаково удалённых от его вершины, имеет меньшую длину, чем окружность на плоскости.
Если посчитать сумму угловых дефектов по всем вершинам представленного в фильме куба, то получится $4\pi$. Оказывается, что и для любого выпуклого многогранника сумма угловых дефектов по вершинам равна $4\pi$. Этот факт является одним из проявлений формулы Эйлера.
Угловой дефект — характеристика вершин выпуклого многогранника. В определённом смысле верно и обратное: это характеристика вершин выпуклого многогранника не только когда он представлен в виде многогранника, но и для его представления в виде развёртки. Напомним, что в понятие развёртки входит не только сам «кусок бумаги», но и условия склейки границ. А значит, определены вершины — точки, в которых есть угловой дефект. Теорема А. Д. Александрова утверждает, что из любой развёртки, у которой в каждой вершине дефект неотрицательный, а суммарный дефект равен $4\pi$, можно сложить выпуклый многогранник.
Литература
Долбилин Н. П. Жемчужины теории многогранников. — М. : МЦНМО, 2000.
Другие этюды раздела «Внутренняя геометрия многогранников»
