Многогранники: плоскость Эйлера

Заме­ча­тель­ная формула Эйлера $V-E+F=2$ выражает зави­симость между чис­лом вершин ($V$, от слова vertices), чис­лом рёбер ($E$, edges) и чис­лом гра­ней ($F$, faces) выпук­лого многогран­ника. В про­стран­стве с коор­ди­на­тами $(V, E, F)$ это соот­ноше­ние, будучи линей­ным, задаёт плос­кость. Плос­кость, на кото­рой лежат все выпук­лые многогран­ники! Назо­вём её плос­ко­стью Эйлера.

Все ли точки с целыми положи­тель­ными коор­ди­на­тами на этой плос­ко­сти отве­чают каким-то многогран­ни­кам? Другими сло­вами, явля­ется ли усло­вие $V-E+F=2$ не только необ­хо­димым, но и доста­точ­ным для суще­ство­ва­ния многогран­ника с дан­ным коли­че­ством вершин, рёбер, гра­ней?

Нет, не все, так как есть четыре оче­вид­ных огра­ни­че­ния.

Не бывает многогран­ника меньше чем с четырьмя верши­нами и чётырьмя гра­нями, зна­чит $V\ge 4$ и $F\ge 4$. Оба равен­ства реа­ли­зуются для тет­раэдра (см. вкладку «Пра­виль­ные многогран­ники»).

У каж­дой грани хотя бы три ребра, а каж­дое ребро при­над­лежит ровно двум гра­ням, поэтому $2E \ge 3F$. Это нера­вен­ство обраща­ется в равен­ство, если все грани являются тре­уголь­ни­ками. На плос­ко­сти Эйлера это нера­вен­ство задаёт прямую, на кото­рой лежат, напри­мер, октаэдр и другие бипи­рамиды (см. вкладку «Серии многогран­ни­ков»).

В каж­дой вершине схо­дятся не менее трёх рёбер, а каж­дое ребро соеди­няет ровно две вершины, поэтому $2E \ge 3V$. Это нера­вен­ство обраща­ется в равен­ство, если в каж­дой вершине схо­дятся ровно по три ребра, т. е. по три грани (такие многогран­ники назы­ваются про­стыми). На плос­ко­сти Эйлера это нера­вен­ство задаёт прямую, на кото­рой лежат, напри­мер, куб и другие призмы (см. вкладку «Серии многогран­ни­ков»).

Система пере­чис­лен­ных четырёх нера­венств $$4 \le V \le \frac{2}{3} E \hspace{5ex} \text{и} \hspace{5ex} 4 \le F \le \frac{2}{3} E$$ выде­ляет на плос­ко­сти Эйлера угол. Вершина угла — точка, отве­чающая тет­раэдру. Ока­зы­ва­ется, других огра­ни­че­ний, кроме пере­чис­лен­ных оче­вид­ных, нет! Все целые точки плос­ко­сти Эйлера внутри этого угла действи­тельно реа­ли­зуются выпук­лыми многогран­ни­ками — это сле­дует из тео­ремы Штай­ница, отно­сящейся к ком­би­на­тор­ной геомет­рии.

Обра­тим внима­ние, что нет вза­имно одно­знач­ного соот­вет­ствия целых точек на плос­ко­сти Эйлера и многогран­ни­ков: точке может соот­вет­ство­вать несколько многогран­ни­ков.

На кар­тин­ках, пред­став­ляющих многогран­ники на плос­ко­сти Эйлера, в самой формуле Эйлера $V-E+F=2$ и в полу­чен­ных нера­вен­ствах, задающих угол, можно заме­тить симмет­рию: она соот­вет­ствует пере­ста­новке $V$ и $F$. Всё это про­яв­ле­ние двойствен­но­сти для выпук­лых многогран­ни­ков.

Для пра­виль­ных многогран­ни­ков: цен­тры гра­ней куба являются верши­нами октаэдра и нао­бо­рот; цен­тры гра­ней доде­каэдра являются верши­нами ико­саэдра и нао­бо­рот; а тет­раэдр — самодвойствен­ный. Архиме­до­вым телам (полупра­виль­ным многогран­ни­кам) двойственны ката­ла­новы тела (рав­но­гран­ные многогран­ники). В клас­си­че­ских сериях: призмы двойственны с бипи­рами­дами, антипризмы — с трапе­цоэд­рами.

Напи­сан­ное выше оста­ётся вер­ным и для при­выч­ных невыпук­лых многогран­ни­ков. Тут, однако, есть нюансы. Если отме­тить точку $(V, E, F)$ для многогран­ника Силашши, то она не будет лежать на плос­ко­сти Эйлера. Дело в том, что этот многогран­ник не про­сто невыпук­лый, но ещё и с дыр­кой — пред­став­ляет собой полиэд­раль­ный тор. А двойка в пра­вой части формулы Эйлера $V-E+F=2$ соот­вет­ствует многогран­ни­кам без дыр, т. е. топо­логи­че­ски экви­ва­лент­ным сфере.

Формула $V-E+F=2$ была открыта Лео­нар­дом Эйле­ром в 1750 году. При­ве­дём цитату из книги И. Лака­тоса «Дока­за­тельства и опро­верже­ния» (сноска на стр. 12)::

Пер­во­на­чаль­ной его зада­чей было дать клас­сифи­кацию многогран­ни­ков. На труд­ность этого было ука­зано в заклю­че­нии изда­теля: «В то время как в плос­кой геомет­рии много­уголь­ники легко могут быть клас­сифици­ро­ваны по числу сто­рон, кото­рое, конечно, все­гда будет равно числу углов, в сте­реомет­рии клас­сифи­кация многогран­ни­ков пред­став­ляет собой зна­чи­тельно более труд­ную задачу, так как только одно число гра­ней недо­ста­точно для этой цели». Клю­чом к полу­чен­ному Эйле­ром результату было как раз вве­де­ние поня­тий вершины и ребра; он пер­вый ука­зал на то, что кроме числа гра­ней, число точек и линий на поверх­но­сти многогран­ника опре­де­ляет его (топо­логи­че­ский) харак­тер.

Лите­ра­тура

Eulero L. Elementa doctrinae solidorum // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanæ. — 1752/53. — Volume 4.  — P. 109—140. — [Напи­сано: 1750; Enestrom Number: 230; Fuss Index: 318].

Кокс­тер Г. С. М. Вве­де­ние в геомет­рию. — М.: Наука, 1966. — [Глава 10 «Пять пла­то­но­вых тел»].

Пойа Д. Матема­тика и прав­допо­доб­ные рас­суж­де­ния. — М.: ИЛ, 1957. — [Т. 1. Глава III «Индукция в про­стран­ствен­ной геомет­рии»].

Шубин М. Топо­логия и... рельеф мест­но­сти // Жур­нал «Квант». — 1982. — № 8. — Cтр. 10—15.

Мер­зон Г. Игры Кон­вея, рисунки Эйлера и про­чие про­блемы // Жур­нал «Кван­тик». — 2014. — № 7. — Стр. 18—22.

Гайфул­лин А. А. Тео­рема Штай­ница: курс лекций на лет­ней школе «Современ­ная матема­тика» имени Вита­лия Арнольда 2023 года. — https://mathnet.ru/present39754

Лака­тос И. Дока­за­тельства и опро­верже­ния: как дока­зы­ваются тео­ремы. — М.: Наука, 1967.