Радуга

Солнце. Дождь. Радуга.

Учё­ные раз­ных времён пыта­лись объяс­нить это при­род­ное явле­ние. Пол­ная тео­рия радуги выхо­дит за рамки геомет­ри­че­ской и даже вол­но­вой оптики и тре­бует мощ­ного матема­ти­че­ского аппа­рата. В фильме даётся пер­вое пред­став­ле­ние о радуге, кото­рое, тем не менее, заме­ча­тельно и отнюдь не про­сто. Это пред­став­ле­ние осно­вано на рабо­тах Рене Декарта и Иса­ака Нью­тона.

Рене Декарт объяс­нил геомет­рию радуги: её форму и рас­по­ложе­ние на небе. Исаак Нью­тон «рас­кра­сил» радугу, дав объяс­не­ние её цве­там.

Вели­кий Исаак Нью­тон в своём знаме­ни­том  опыте со стек­лян­ной призмой, без кото­рого теперь не обхо­дятся уроки физики, раз­ложил белый сол­неч­ный свет на цве­то­вые состав­ляющие и про­де­мон­стри­ро­вал, что раз­ным цве­там соот­вет­ствуют раз­лич­ные пока­за­тели пре­лом­ле­ния. Это явле­ние назы­ва­ется диспер­сией света. Именно благо­даря диспер­сии радуга раз­ноцвет­ная.

Выде­лил  семь состав­ляющих в полу­чающемся спек­тре: крас­ный, оран­же­вый, жёл­тый, зелё­ный, голу­бой, синий, фио­ле­то­вый. Эти цвета легко запом­нить с помощью хорошо извест­ного мне­мо­ни­че­ского пра­вила «Каж­дый Охот­ник Желает Знать, Где Сидит Фазан». Инте­ресно, что не во всех стра­нах выде­ляют семь цве­тов радуги. Напри­мер, в Япо­нии — шесть.

Радуга обра­зу­ется в нахо­дящихся в воз­духе кап­лях дождя. Чтобы понять, как именно это про­ис­хо­дит, рас­смот­рим  ход сол­неч­ных лучей в одной капле воды. Будем счи­тать, что капля имеет форму шара. (Рене Декарт про­во­дил тысячи опытов со стек­лян­ной сфе­ри­че­ской кол­бой, напол­нен­ной водой.) В виду симмет­рии путь луча в капле зави­сит только от его рас­сто­я­ния до цен­тра капли. Рас­смот­рим лучи, кото­рые лежат в плос­ко­сти «Солнце — глаз наблю­да­теля — центр капли».

Поскольку Солнце рас­по­ложено очень далеко от Земли, можно счи­тать, что лучи от него достигают зем­ную атмо­сферу парал­лельно друг другу и угол их паде­ния зави­сит только от высоты Солнца над гори­зон­том.

Обра­зующие радугу сол­неч­ные лучи попа­дают из воз­духа в каплю, а затем выхо­дят наружу, испыты­вая при этом ряд пре­лом­ле­ний и отраже­ний. На гра­нице двух сред, в дан­ном слу­чае воды и воз­духа, все­гда про­ис­хо­дит и пре­лом­ле­ние, и отраже­ние. Будем рас­смат­ри­вать только такой ход лучей, кото­рый инте­ре­сен с точки зре­ния обра­зо­ва­ния радуги.

Рас­смот­рим сна­чала те лучи, кото­рые попали на верх­нюю поло­вину капли. На входе в каплю эти лучи пре­лом­ляются, затем отражаются от зад­ней стенки капли и, снова пре­лом­ля­ясь, выхо­дят наружу. При пре­лом­ле­нии про­ис­хо­дит диспер­сия и появ­ляются цвета.

Лучи падают на обращён­ную к Солнцу поверх­ность капли рав­но­мерно. На выходе из капли лучи рас­пре­де­лены уже нерав­но­мерно. Раз­бе­рёмся, какие именно выхо­дящие лучи обра­зуют радугу.

Луч, кото­рый попал в каплю точно по цен­тру, не пре­лом­ля­ется (поскольку угол паде­ния равен $0^{\circ}$). Отра­зившись от зад­ней поверх­но­сти капли, он вый­дет нав­стречу падающему лучу. Лучи, кото­рые попали в каплю близко к цен­тру, пре­лом­ляются не сильно (поскольку угол их паде­ния бли­зок к $0^{\circ}$). После отраже­ния эти лучи выхо­дят почти нав­стречу падающим, откло­нившись от воз­враще­ния в обрат­ном направ­ле­нии на небольшой угол. По мере уда­ле­ния вхо­дящих лучей от цен­тра капли этот угол рас­тёт, однако в неко­то­рый момент достига­ется мак­симум: лучи, отсто­ящие от цен­тра при­бли­зи­тельно на $0,86$ ради­уса капли, откло­няются силь­нее всего. При даль­нейшем уда­ле­нии от цен­тра капли вплоть до тех лучей, кото­рые лишь касаются капли, угол уменьша­ется.

Для лучей крас­ного цвета коэффици­ент пре­лом­ле­ния в фильме при­нимался рав­ным $1,33$, что соот­вет­ствует действи­тель­но­сти. У всех осталь­ных цве­тов для большей нагляд­но­сти коэффици­енты были немного уве­ли­чены отно­си­тельно реаль­ных.

Около мак­сималь­ного (матема­тики гово­рят экс­тремаль­ного) зна­че­ния угол откло­не­ния меня­ется мед­ленно, поэтому про­ис­хо­дит  «накоп­ле­ние» выхо­дящих лучей. Именно эти лучи и воспри­нимаются как радуга.

Как уже было ска­зано, пока­за­тель пре­лом­ле­ния для лучей раз­ного цвета раз­ный, поэтому мак­сималь­ный угол откло­не­ния также раз­ный. Для крас­ного цвета он равен при­мерно  $42^{\circ}$. А для фио­ле­то­вого —  $41^{\circ}$. Лучи осталь­ных цве­тов лежат в промежутке между $41^{\circ}$ и $42^{\circ}$.

Глядя на кар­тину про­хож­де­ния луча света по капле, заме­тим, что если из дан­ной капли к наблю­да­телю при­шёл, напри­мер, жёл­тый цвет, то ника­кой дру­гой цвет из этой капли уже не может при­йти (крас­ный пой­дёт ниже, а синий — выше наблю­да­теля). Таким обра­зом,  из каж­дой капли виден только один цвет.

Рас­смот­рим теперь всё множе­ство капель дождя. Какие капли участ­вуют в форми­ро­ва­нии дан­ного цвета радуги? Из ска­зан­ного выше сле­дует, что, напри­мер, фио­ле­то­вый цвет обра­зуют те и только те капли, кото­рые лежат на прямой, обра­зующей с при­хо­дящими на землю сол­неч­ными лучами угол $42^{\circ}$. Зна­чит, фио­ле­то­вый цвет радуги лежит на поверх­но­сти конуса с верши­ной в наблю­да­теле, осью, являющейся про­долже­нием отрезка «Солнце — глаз наблю­да­теля», и углом рас­твора $42^{\circ}$. Осталь­ные  цвета также лежат на поверх­но­стях кону­сов с той же осью и соот­вет­ствующим этим цве­там углам рас­твора.

Если наблю­да­тель смот­рит на радугу, то Солнце нахо­дится за его спи­ной. Гово­рят, что радуга нахо­дится в «про­ти­во­сол­неч­ной точке».  Высота радуги зави­сит от положе­ния Солнца. Самая большая радуга полу­ча­ется, когда Солнце близко к гори­зонту.

Рас­смот­рим теперь лучи Солнца, падающие на ниж­нюю часть капли. В силу симмет­рии для них можно почти пол­но­стью повто­рить про­ве­дён­ное выше рас­суж­де­ние. Однако тогда лучи на выходе из капли ухо­дят вверх, и наблю­да­тель с Земли их про­сто не видит. Но возможно и другое про­хож­де­ние пучка света по капле! Лучи могут два раза отра­зиться от зад­ней стенки капли и потом выйти из неё.

Такое про­хож­де­ние лучей даёт  вто­рую радугу. Вто­рая радуга видна под углом при­мерно $52^{\circ}$ к направ­ле­нию «Солнце — глаз наблю­да­теля». Таким обра­зом, она выше пер­вой. Поскольку лучи отража­лись от сте­нок капли два раза, поря­док цве­тов в ней обрат­ный — крас­ный цвет снизу, а фио­ле­то­вый сверху.

При каж­дом отраже­нии интен­сив­ность света ослаб­ля­ется, поэтому вто­рая радуга менее яркая, чем пер­вая. Тео­ре­ти­че­ски суще­ствуют и тре­тья радуга, и радуги более высо­ких поряд­ков, но они не видны при обыч­ных усло­виях, поскольку полу­чаются при многих отраже­ниях в капле.

Внима­тель­ный чело­век заме­тит  тём­ную область неба, рас­по­ложен­ную между пер­вой и вто­рой раду­гами. Дело в том, что после вза­и­мо­действия с кап­лями дождя, лишь небольшое коли­че­ство лучей при­хо­дит к наблю­да­телю под углами от $41^{\circ}$ до $52^{\circ}$. Ещё один не все­гда заме­ча­емый при­знак радуги — светло-тём­ные полосы сразу под фио­ле­то­вой дугой пер­вой радуги. Однако их объяс­не­ние выхо­дит за рамки геомет­ри­че­ской оптики.

Уви­деть в небе пол­ный круг радуги сто­ящему на Земле наблю­да­телю невозможно. Пол­ную радугу — окруж­ность цели­ком, можно уви­деть в брыз­гах фон­тана, рас­по­ложен­ных невы­соко над зем­лёй. А в небе  пол­ную радугу можно уви­деть с само­лёта.

Лите­ра­тура

Декарт Р. О радуге // Декарт Р. Рас­суж­де­ния о методе. С при­ложе­ни­ями Диоп­трика, Метеоры, Геомет­рия / Редакция, пере­вод, ста­тьи и коммен­та­рии Г. Г. Слю­са­рева, А. П. Юшке­вича. — М. : Изд-во АН СССР, 1953. — С. 264—280.

Нью­тон И. Оптика, или Трак­тат об отраже­ниях, пре­лом­ле­ниях, изги­ба­ниях и цве­тах света / Пере­вод с тре­тьего английского изда­ния 1721 г. с при­ме­ча­ни­ями С. И. Вави­лова. — Изда­ние вто­рое / Про­смот­рен­ное Г. С. Ланд­сбергом. — М. : ГИТТЛ, 1954. — (Клас­сики есте­ство­зна­ния. Матема­тика, меха­ника, физика, аст­ро­номия.)

Арнольд В. И. Радуга // Арнольд В. И. Матема­ти­че­ское понима­ние при­роды. — М. : МЦНМО, 2010.

Нус­сенцвейг Х. Тео­рия радуги // Успехи физи­че­ских наук. — 1978. — Т. 125. — С. 527—547.

Смотри также

Радуга // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 118-121, 336—338.

Другие этюды раздела «Геометрическая оптика»