Тени

Возьмём про­жек­тор, све­тящий парал­лель­ными лучами. То, что у куба бывает тень в виде квад­рата, оче­видно. А каково наи­большее число вершин много­уголь­ника, кото­рый может являться тенью куба? Если диаго­наль куба парал­лельна лучам света, то тенью будет пра­виль­ный шести­уголь­ник!

Раз­вер­нём про­жек­тор с экра­ном и поме­стим за экран некое тело. Тень на экране-ширме — квад­рат. Обя­зано ли наше тело быть кубом?

Доба­вим экран и про­жек­тор в направ­ле­нии, перпен­ди­ку­ляр­ном пер­вому. Теперь уже две ортого­наль­ные (перпен­ди­ку­ляр­ные) про­екции — квад­раты. Только ли куб может давать такие тени?

А если три ортого­наль­ные про­екции — квад­раты? Бывает ли тело, отлич­ное от куба, имеющее три ортого­наль­ные тени в виде квад­ра­тов?

Легко при­думать невыпук­лые тела — напри­мер, куб с изъя­нами — дающие такие про­екции. А если при изу­че­нии вопроса огра­ни­читься рас­смот­ре­нием только выпук­лых тел, или даже ещё более узкого класса — пра­виль­ных многогран­ни­ков?

Ока­зы­ва­ется, что бывает даже пра­виль­ный многогран­ник, отлич­ный от куба, дающий тени в виде квад­ра­тов в трёх перпен­ди­ку­ляр­ных направ­ле­ниях.

Действи­тельно, в куб можно впи­сать пра­виль­ный тет­раэдр! Четыре вершины тет­раэдра будут совпа­дать с верши­нами куба. Все рёбра тет­раэдра будут являться диаго­на­лями гра­ней куба и, сле­до­ва­тельно, будут равны между собой.

Если посмот­реть через какую-либо грань куба, то так рас­по­ложен­ный пра­виль­ный тет­раэдр «занимает» всю про­екцию куба вдоль направ­ле­ния, перпен­ди­ку­ляр­ного грани.

Зна­чит, если куб рас­по­ложен так, что три его ортого­наль­ные про­екции — квад­раты, т.е. экраны парал­лельны гра­ням куба, то и пра­виль­ный тет­раэдр, впи­сан­ный в него, будет давать те же самые тени — три квад­рата.

Другие этюды раздела «Внешняя геометрия многогранников»