Площадь на сфере: сферы, шапочки, кольца

Площадь всей сферы, шапочки или кольца на сфере посчи­тать не так про­сто. Помогает срав­не­ние сферы с «плос­кими» поверх­но­стями — плос­ко­стью, кону­сом и цилин­дром.

Если плос­кость каса­ется сферы в полюсе, то площадь сфе­ри­че­ской шапочки и круга на плос­ко­сти, высе­ка­емых «вспомога­тель­ной» сфе­рой с цен­тром в полюсе, — оди­на­кова. Если радиус вспомога­тель­ной сферы равен диаметру основ­ной, то вспомога­тель­ная пол­но­стью охва­ты­вает основ­ную сферу. Эта кар­тинка поз­во­ляет запом­нить, что площадь сферы равна $4\pi R^2$.

Площадь сферы
Площадь сферы
Площадь сферы

«Счи­ты­вая» с гло­буса информацию по при­ве­дён­ному алго­ритму, можно постро­ить рав­но­ве­ли­кую азиму­таль­ную кар­тографи­че­скую про­екцию Земли. Такая про­екция сохра­няет площади всех обла­стей. Раз­ра­бо­тал её матема­тик и аст­ро­ном Иоганн Лам­берт — тот самый, кото­рый дока­зал ирраци­о­наль­ность числа $\pi$. Замет­ный недо­ста­ток про­екции — зна­чи­тель­ное искаже­ние на общей карте Земли кон­ту­ров круп­ных обла­стей, напри­мер, кон­ти­нен­тов.

Равновеликая азимутальная проекция Ламберта
Равновеликая азимутальная проекция Ламберта
Равновеликая азимутальная проекция Ламберта

Круг, касающийся сферы в полюсе, можно счи­тать пре­дель­ным слу­чаем конуса, касающегося сферы.

Рас­смот­рим две вспомога­тель­ные концен­три­че­ские сферы с цен­тром в вершине конуса. И на сфере, и на конусе эти сферы высе­кают кольца. Ока­зы­ва­ется, что площади этих колец — на сфере и на конусе — равны.

Площадь на сфере и на касательном конусе
Площадь на сфере и на касательном конусе
Площадь на сфере и на касательном конусе

Равен­ство оста­ётся вер­ным для любого положе­ния концен­три­че­ских сфер. Рас­смот­рен­ный слу­чай равен­ства площа­дей шапочки на сфере и соот­вет­ствующего круга, касающегося сферы, полу­ча­ется из кони­че­ского: радиус одной из концен­три­че­ских сфер сле­дует положить нулю, а вершину конуса поме­стить в полюс сферы.

Если же вершину конуса «угнать» на бес­ко­неч­ность, то конус перей­дёт в цилиндр, касающийся сферы по эква­тору. Концен­три­че­ские вспомога­тель­ные сферы перей­дут в плос­ко­сти.

Площадь сфе­ри­че­ского кольца, выре­за­емого двумя парал­лель­ными плос­ко­стями, равна площади соот­вет­ствующего цилин­дри­че­ского кольца (плос­ко­сти перпен­ди­ку­лярны оси цилин­дра). Это при­во­дит к инте­рес­ному наблю­де­нию: площадь кольца на гло­бусе зави­сит только от рас­сто­я­ния между секущими плос­ко­стями, но не зави­сит от бли­зо­сти кольца к эква­тору или полюсу. «Съе­доб­ное» тол­ко­ва­ние: если круг­лый неочищен­ный апель­син наре­зать на лом­тики оди­на­ко­вой толщины, то и площадь шкурки у всех кус­ков будет оди­на­кова.

Площадь сферического кольца: лемма Архимеда
Площадь сферического кольца: лемма Архимеда
Площадь сферического кольца: лемма Архимеда

Срав­не­ние площади кольца на сфере и кольца на цилин­дре поз­во­ляет посчи­тать площадь всей сферы. Когда плос­ко­сти касаются полю­сов сферы рас­сто­я­ние между ними равно $2R$. А длина окруж­но­сти цилин­дра, касающегося сферы равна $2\pi R$. Раз­во­ра­чи­вая цилиндр в прямо­уголь­ник полу­чаем $4\pi R^2$.

Пере­нося информацию с гло­буса на сферу с сохра­не­нием высоты полу­чаем рав­но­ве­ли­кую цилин­дри­че­скую кар­тографи­че­скую про­екцию Земли. Такая про­екция, по рас­смот­рен­ному выше свойству, сохра­няет площади всех обла­стей и тоже была раз­ра­бо­тана Лам­бер­том.

Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта
Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта
Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта

Утвер­жде­ние про равен­ство площа­дей колец на сфере и на цилин­дре назы­ва­ется леммой Архимеда и известно с дав­них времён. Утвер­жде­ние про площадь сфе­ри­че­ской шапочки и площадь круга тоже довольно известно. Уди­ви­тельно, что свя­зы­вающая эти два слу­чая кон­струкция — срав­не­ние площа­дей колец на сфере и на конусе, заклю­чён­ных между концен­три­че­скими сфе­рами с цен­трами в вершине конуса — мало­из­вестна и, возможно, была открыта только в XXI веке.

Лите­ра­тура

Акопян А. Апель­сины, кана­ли­за­ци­он­ные люки и раз­ре­за­ние длин­ного прямо­уголь­ника // Жур­нал «Квант». — 2021. — № 9. — Стр. 40—43.

Vin De Silva. A Generalisation of Archimedes' Hatbox Theorem // The Mathematical Gazette. — 2006. — Vol. 90, № 517. — P. 132—134.

Кар­тографи­че­ские про­екции // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 136—145, 342, 343.

Другие этюды раздела «Площади и объёмы»