Колёсная пара

Многие меч­тали про­ка­титься в кабине маши­ни­ста поезда метро. На самом деле, ехать по прямой в тун­неле, кото­рый есть про­сто прямо­ли­ней­ный цилиндр, не так увле­ка­тельно. Раз­но­об­ра­зие вно­сят пово­роты.

А как пово­ра­чи­вают вагоны метро? Ведь пра­вое и левое колеса жёстко скреп­лены друг с другом. Между тем, в пово­роте радиус внеш­него рельса больше ради­уса внут­рен­него, а зна­чит, и длина дуги окруж­но­сти, кото­рую должно про­хо­дить внеш­нее колесо, должна быть больше пути внут­рен­него колеса. При этом необ­хо­димо, чтобы ни одно из колёс не про­скаль­зы­вало отно­си­тельно рельса.

Рас­смот­рим упрощён­ную модель, кото­рая всё же хорошо пере­даёт суть про­ис­хо­дящего. Колёса в этой модели — два оди­на­ко­вых усе­чён­ных конуса, жёстко соеди­нён­ных осью. Профиль рабо­чей поверх­но­сти рельса — дуга окруж­но­сти. Если бы рельсы укла­ды­ва­лись вер­ти­кально, то испыты­вали бы лиш­ние нагрузки — колесо давит на рельс перпен­ди­ку­лярно своей поверх­но­сти. Поэтому, фик­си­руя рельсы в шпале, их немного накло­няют внутрь, чтобы ось была перпен­ди­ку­лярна поверх­но­сти колеса-конуса.

Про­сле­дим за тем, как колёс­ная пара про­хо­дит пово­роты. Ока­зы­ва­ется, она смеща­ется отно­си­тельно рельс!

Раз­бе­рёмся, как устроен сам пово­рот. После прямого отрезка пути идёт вход в пово­рот — уча­сток с перемен­ным ради­у­сом, потом идёт основ­ной уча­сток — посто­ян­ного ради­уса, т. е. дуга окруж­но­сти. Для того, чтобы пас­сажи­ров не кидало из сто­роны в сто­рону при пере­ходе с одного участка на дру­гой, должно выпол­няться очень силь­ное усло­вие — непре­рыв­ность вто­рой про­из­вод­ной тра­ек­то­рии пути при пере­ходе между участ­ками.

Каса­ние колеса-конуса и рабо­чей поверх­но­сти рельса про­ис­хо­дит по точке. При пово­роте точка каса­ния смеща­ется отно­си­тельно конуса. Про­ве­дём через точки каса­ния окруж­но­сти. При цен­три­ро­ван­ном положе­нии колёс­ной пары эти окруж­но­сти для внут­рен­него и внеш­него колеса оди­на­ковы. А при смещён­ном — окруж­ность для внут­рен­него колеса меньше, чем внеш­него. Таким обра­зом, можно счи­тать, что колёса имеют перемен­ный радиус. И раз радиус внут­рен­него колеса меньше ради­уса внеш­него, то, когда колёса едут по рель­сам без про­скаль­зы­ва­ния, внут­рен­нее колесо про­хо­дит меньший путь, чем внеш­нее.

Почему же колёс­ная пара смеща­ется отно­си­тельно рельс в пово­роте? Ока­зы­ва­ется, ника­кой физики. Только геомет­рия, при этом очень кра­си­вая! Когда рельсы пово­ра­чи­вают, они сами вызы­вают смеще­ние колёс­ной пары ровно настолько, насколько нужно — так, чтобы внеш­нее и внут­рен­нее колёса кати­лись без про­скаль­зы­ва­ния.

Хорошая модель должна учи­ты­вать самые важ­ные свойства изу­ча­емых объек­тов, а несуще­ствен­ные детали — опус­кать. Такова и рас­смот­рен­ная модель, но в жизни всё слож­нее. По ГОСТу рабо­чая поверх­ность колеса состоит из двух кону­сов немного раз­ного суже­ния. Есть ещё реборда — выступ, препят­ствующий соска­ки­ва­нию колеса с рельса, гра­ница кото­рого состоит из нескольких дуг окруж­но­стей. Рабо­чая поверх­ность рельса, кото­рая в рас­смот­рен­ной модели была дугой окруж­но­сти, на самом деле — симмет­рич­ная склейка пяти дуг окруж­но­стей.

Пово­рот колёс­ной пары состава суще­ственно отли­ча­ется от того, как  пово­ра­чи­вают колёса автомо­биля, однако и в том, и в другом слу­чае осо­бую роль играет такая кра­си­вая наука — геомет­рия.

Допол­ни­тель­ная информация:

  • Колёс­ная пара имеет массу около тонны. Если же колёс­ная пара ведущая, то на ней есть ещё непо­движ­ная отно­си­тельно оси шестерня, так что общая масса достигает почти полу­тора тонн. Диаметр колеса — при­мерно метр.
  • По стра­теги­че­ским сооб­раже­ниям в СССР стан­дарт рельс и колёс­ных пар ваго­нов метро выбран такой же, как и для желез­но­до­рож­ных соста­вов. Ширина колеи — рас­сто­я­ние между внут­рен­ними гра­нями голо­вок рель­сов — в Рос­сии состав­ляет 1520 мм.
  • Кру­тым счи­та­ется пово­рот с ради­у­сом менее 350 мет­ров. В таких пово­ро­тах ширина колеи может быть чуть шире стан­дарт­ной, но не более чем на 3 см.
  • Про­тяжён­ность желез­ных дорог в Рос­сии — при­мерно 87 тысяч километ­ров. Про­тяжён­ность линий метро в Москве в 2011 году — при­мерно 300 километ­ров.
  • Неко­то­рые точки насто­ящего колеса едут в обрат­ную сто­рону отно­си­тельно хода движе­ния поезда. Подумайте, какие.

Смотри также

Кри­вая пово­рота // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 52.

Колёс­ные пары желез­но­до­рож­ных соста­вов // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 53.

Другие этюды раздела «Математика и техника»