Сдвиг и поворот

Шар­нир­ный ромб, состо­ящий из зве­ньев оди­на­ко­вой длины и исполь­зующий пол­зуны, пере­двигающи­еся по крас­ному непо­движ­ному стержню, реа­ли­зует на плос­ко­сти осе­вую симмет­рию. Действи­тельно, положе­ние одного из зелё­ных шар­ни­ров задаёт положе­ние и длину про­ти­вопо­лож­ной сто­роны сво­его тре­уголь­ника, а тре­уголь­ники, нахо­дящи­еся по раз­ные сто­роны от стержня, все­гда равны. Зна­чит, при любом положе­нии меха­низма два зелё­ных шар­нира симмет­ричны отно­си­тельно крас­ного стержня.

Возьмём фигуру — кри­во­ли­ней­ный тре­уголь­ник — и посмот­рим, во что она перей­дёт под действием нашего меха­низма. Полу­чится симмет­рич­ная фигура. Она, в том числе, равна изна­чаль­ной, но по-другому ори­ен­ти­ро­вана. Т.е., если счи­тать плос­кость бес­ко­неч­ным листом бумаги с нари­со­ван­ной на нём фигу­рой, то чтобы совме­стить фигуру и её образ, необ­хо­димо сложить лист по оси симмет­рии, при этом у одной его поло­винки поме­ня­ется верх с низом.

При­ме­ним теперь к уже полу­чившемуся тре­уголь­нику наш меха­низм, реа­ли­зующий симмет­рию, с осью, парал­лель­ной оси пер­вого меха­низма. Полу­чившийся тре­уголь­ник имеет ту же ори­ен­тацию, что и самый пер­вый, и полу­ча­ется из него парал­лель­ным пере­но­сом, т.е. сдвигом. Двой­ной парал­ле­лограмм с двумя крас­ными закреп­лён­ными шар­ни­рами реа­ли­зует это пре­об­ра­зо­ва­ние на плос­ко­сти. Итак, результа­том двух осе­вых симмет­рий с парал­лель­ными осями явля­ется про­сто сдвиг. Верно и обрат­ное — любой парал­лель­ный пере­нос можно раз­ложить в две осе­вые симмет­рии с парал­лель­ными осями. Как нетрудно заме­тить, такое раз­ложе­ние не един­ственно.

Такой результат после­до­ва­тель­ных отоб­раже­ний назы­ва­ется в матема­тике компо­зицией, а в терми­но­логии функций — слож­ной функцией. Так же, как и в ана­ли­ти­че­ской записи, результат компо­зиции можно полу­чить, либо после­до­ва­тельно выпол­няя состав­ляющие её действия, либо как-то пре­об­ра­зо­вав и при­ме­нив уже в «упрощён­ном» виде. При этом пре­об­ра­зо­ван­ный объект внешне может быть совершенно не похож на изна­чаль­ные, из кото­рых он полу­чался.

А что же будет, если оси симмет­рий не парал­лельны?

Компо­зицией двух осе­вых симмет­рий с непа­рал­лель­ными осями явля­ется пово­рот с цен­тром в точке пере­се­че­ния осей. При этом угол, на кото­рый пово­ра­чи­ва­ется фигура, равен удво­ен­ному углу между осями. Как и в слу­чае со сдвигом, верно и обрат­ное — любой пово­рот на плос­ко­сти рас­кла­ды­ва­ется на две осе­вые симмет­рии.

Шар­нир­ный меха­низм, осно­ван­ный на ромбе, реа­ли­зует пре­об­ра­зо­ва­ние пово­рота плос­ко­сти.

А теперь к плос­ко­сти (на при­мере нашей фигуры) при­ме­ним после­до­ва­тельно парал­лель­ный пере­нос, а затем пово­рот. Можно ли каким-то одним пре­об­ра­зо­ва­нием совме­стить исход­ную и конеч­ную фигуры?

Раз­ложим исполь­зо­ван­ный пово­рот на две симмет­рии. Из этой кар­тинки видно, что этап полу­че­ния серого тре­уголь­ника и потом при­ме­не­ния к нему одной симмет­рии можно заме­нить про­сто на одну симмет­рию. А такая кар­тинка — компо­зиция двух осе­вых симмет­рий с непа­рал­лель­ными осями — нам уже зна­кома, это есть про­сто пово­рот.

Нари­суем тре­уголь­ник на столе. Положив листок бумаги поверх, обве­дём фигуру. Под­нимем листо­чек и отпу­стим, чтобы он слу­чай­ным обра­зом опу­стился на стол, но при этом не пере­вер­нулся. Тем самым полу­чено, как гово­рят матема­тики, «в общем виде» движе­ние плос­ко­сти — пре­об­ра­зо­ва­ние, сохра­няющее рас­сто­я­ния и не меняющее ори­ен­тацию. Конечно, могло так слу­читься, что фигуры отли­чаются парал­лель­ным пере­но­сом, но веро­ят­ность, что листо­чек ляжет так акку­ратно, очень мала. Во всех других слу­чаях это — про­сто пово­рот с неко­то­рым цен­тром на неко­то­рый угол!

Смотри также

 Тео­рема Шаля // Матема­ти­че­ские этюды

 Тео­рема Шаля // Матема­ти­че­ские этюды

Другие этюды раздела «Шарнирные механизмы»