Принцип Кавальери

Принцип Кава­льери (итал. Bonaventura Francesco Cavalieri, лат. Cavalerius, 1598—1647) поз­во­ляет под­счи­ты­вать площади фигур и объёмы тел, срав­ни­вая дан­ные фигуры и тела с более про­стыми, площади и объёмы кото­рых известны. Суть принципа Кава­льери поз­во­ляет, как это и было в исто­рии чело­ве­че­ства, инту­и­тивно под­ступиться к интеграль­ному исчис­ле­нию: пред­ста­вить площадь как сумму длин отрез­ков, а объём — как сумму площа­дей.

В слу­чае фигур на плос­ко­сти для пер­вого зна­ком­ства с принци­пом Кава­льери можно исполь­зо­вать под­ставку под тарелки, сде­лан­ную по принципу пле­тё­ной циновки. В тех под­став­ках, кото­рые не обшиты по периметру тка­нью, отрезки могут сдвигаться друг отно­си­тельно друга, оста­ва­ясь все­гда парал­лель­ными. Во всех положе­ниях площадь под­ставки оста­ётся одной и той же.

Принцип Кавальери

После пер­вого зна­ком­ства на этой же модели полезно разо­брать и пара­докс, при­ве­ден­ный в письме Кава­льери к Тор­ри­челли: ведь на самом деле при сдвиге циновки рас­сто­я­ние между отрез­ками меня­ется, а так можно «дока­зать» равен­ство площа­дей нерав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ков.

Другим удоб­ным под­спо­рьем для демон­страции принципа Кава­льери могут стать тру­бочки для напит­ков. Их несложно обре­зать, напри­мер, «под тре­уголь­ник»; можно при жела­нии соеди­нить лес­кой.

Принцип Кавальери
Принцип Кавальери

В трёхмер­ном про­стран­стве принцип Кава­льери можно про­де­мон­стри­ро­вать на оди­на­ко­вых моне­тах или стопке оди­на­ко­вых кар­то­нок (напри­мер, опять же, под­ста­вок под чашку/бокал). Если кар­тонки круг­лые, то их можно сложить в цилиндр, если прямо­уголь­ные — в парал­ле­лепипед. В обоих слу­чаях объём легко вычис­ля­ется. Тело, полу­чен­ное сдвигом кар­то­нок отно­си­тельно друг друга, выгля­дит более слож­ным, но объём его совпа­дает с объёмом исход­ного.

Принцип Кавальери

Бона­вен­тура Кава­льери в своём труде «Геомет­рия неде­лимых непре­рыв­ных, выве­ден­ная новым спо­со­бом» (лат. Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, 1635 год) дал тео­ре­ти­че­ское обос­но­ва­ние метода неде­лимых, исполь­зо­вавшегося и ранее. Так, Архимед по сути исполь­зо­вал метод неде­лимых при вычис­ле­нии объёма шара, а Кеплер при форму­ли­ровке зако­нов движе­ния пла­нет рас­суж­дал о площади как о сумме радиус-век­то­ров. Одним из кра­си­вых при­ме­не­ний принципа Кава­льери на плос­ко­сти явля­ется под­счёт площади под цик­ло­и­дой (лепестки Робер­валя).