Объём шара: весы Архимеда

Нахож­де­ние соот­ноше­ния между объёмами шара и опи­сан­ного около него цилин­дра Архимед (Архимед Сира­куз­ский, др.-греч. Ἀρχιμήδης, лат. Archimedes, 287 до н. э. — 212 до н. э.) счи­тал своим глав­нейшим матема­ти­че­ским открытием. Не слу­чайно на надгро­бии Архимеда были изоб­ражены шар и цилиндр.

Архимед Досифея при­вет­ствует! Неза­долго перед сим я препро­во­дил к тебе неко­то­рые пред­меты моих иcсле­до­ва­ний, вме­сте с най­ден­ными мною дока­за­тельствами […] Ныне я кон­чил и другие неко­то­рые мне на мысль при­шед­шие тео­ремы, из коих достопри­ме­ча­тель­нейшие суть сии: […] Цилиндр, имеющий осно­ва­нием наи­больший круг шара, а высоту, рав­ную попе­реч­нику оного, есть полу­тор­ный шара; и его поверх­ность есть полу­тор­ная же поверх­но­сти шара. Свойства сии без сомне­ния суще­ство­вали в ска­зан­ных фигу­рах, но доселе не были ещё заме­чены никем из занимавшихся Геомет­рией…

Архимед. О шаре и цилин­дре.

Когда я был кве­сто­ром, я отыс­кал в Сира­ку­зах его <Архимеда> могилу, со всех сто­рон заросшую тер­нов­ни­ком, словно изго­ро­дью, потому что сира­ку­зяне совсем забыли о ней, словно ее и нет. Я знал несколько стиш­ков, сочи­нен­ных для его надгроб­ного памят­ника, где упоми­на­ется, что на вершине его постав­лены шар и цилиндр. И вот, осмат­ри­вая мест­ность близ Акрагант­ских ворот, где очень много гроб­ниц и могил, я при­ме­тил маленькую колонну, чуть–чуть воз­вышавшуюся из заро­с­лей, на кото­рой были очер­та­ния шара и цилин­дра. Тот­час я ска­зал сира­ку­зя­нам — со мной были пер­вейшие граж­дане города, — что этого–то, видимо, я и ищу. Они послали коса­рей и рас­чи­стили место. Когда доступ к нему открылся, мы подошли к осно­ва­нию памят­ника. Там была и надпись, но концы её стро­чек стёр­лись от времени почти напо­ло­вину. Вот до какой степени слав­нейший, а некогда и учё­нейший гре­че­ский город поза­был памят­ник умнейшему из своих граж­дан: пона­до­бился чело­век из Арпина, чтобы напом­нить о нём.

Цице­рон о могиле Архимеда в сочи­не­нии «Туску­лан­ские беседы». Пере­вод М. Гаспа­рова.

(Цит. по: Цице­рон Марк Тул­лий. Избран­ные сочи­не­ния. Пер. с латин. — М. : Худ. лит., 1975. — С. 342)

Рас­смот­рим рычаж­ные весы. Пред­ста­вим, что с одной сто­роны весов рас­по­ложен цилиндр, высо­той рав­ной ради­усу осно­ва­ния, а с дру­гой сто­роны, на том же рас­сто­я­нии от под­веса что и цилиндр, — конус и поло­вина шара. При­чём такие, что радиус осно­ва­ния конуса и высота равны ради­усу цилин­дра, радиус шара равен ради­усу цилин­дра.

Нач­нём послойно наби­рать эти фигуры так, чтобы высоты слоёв каж­дой из трёх фигур были оди­на­ковы. Ока­зы­ва­ется, при ука­зан­ных соот­ноше­ниях рычаж­ные весы все­гда будут при­хо­дить в рав­но­ве­сие. Когда фигуры будут пол­но­стью собраны, весы будут нахо­диться в рав­но­ве­сии. Зна­чит, объём цилин­дра равен сумме объёмов конуса и поло­вины шара, если ради­усы и высоты всех трёх фигур совпа­дают.

Уди­ви­тельно: с одной сто­роны весов про­стая фигура — прямой круго­вой цилиндр, с дру­гой сто­роны одна из фигур тоже отно­си­тельно про­стая — прямой круго­вой конус, а урав­но­веши­вающая весы фигура — шар.

Дело в том, что если про­ве­сти плос­кость, парал­лель­ную осно­ва­ниям фигур, то площадь круга, полу­чающегося в сече­нии цилин­дра равна сумме площа­дей кругов, полу­чающихся в сече­нии рас­смат­ри­ва­емых конуса и шара. Несложно (в наше время!) прямым вычис­ле­нием про­ве­рить, что равен­ство площа­дей будет выпол­няться для любого положе­ния секущей плос­ко­сти.

Из ука­зан­ного равен­ства площа­дей, как сей­час гово­рят, по принципу Кава­льери (итал. Bonaventura Francesco Cavalieri, лат. Cavalerius, 1598—1647), сле­дует равен­ство объёмов.

Отноше­ние объёмов цилин­дра и конуса было известно до Архимеда:

Таким обра­зом и Евдокс <Евдокс Книд­ский, др.-греч. Εὔδοξος, лат. Eudoxus, ок. 408 до н. э. — ок. 355 до н. э.> соб­ствен­ным рас­суж­де­нием открыл многое о телах, напри­мер: что вся­кая пирамида есть треть призмы, имеющей с пирами­дой то же осно­ва­ние и ту же высоту; что вся­кий конус есть треть цилин­дра, имеющего с кону­сом то же осно­ва­ние и ту же высоту.

Архимед. О шаре и цилин­дре.

Рав­но­ве­сие весов даёт возмож­ность выра­зить объём поло­вины шара через объём цилин­дра. Вычи­тая из объёма цилин­дра треть — объём конуса с теми же осно­ва­нием и высо­той, что и у цилин­дра, — полу­чаем, что объём поло­вины шара равен $2/3$ от объёма цилин­дра.

Тем самым, уста­нов­лено соот­ноше­ние, опи­сан­ное у Архимеда: объём шара, равен $2/3$ объёма опи­сан­ного около шара цилин­дра. Инте­ресно, что, как заме­тил Архимед, в том же отноше­нии нахо­дятся и площади их поверх­но­стей.

Из соот­ноше­ния Архимеда можно выве­сти явную формулу для объёма шара. В слу­чае цилин­дра, опи­сан­ного вокруг шара ради­уса $R$, площадь его осно­ва­ния равна $\pi R^2$, а высота равна $2R$. Зна­чит объём цилин­дра равен: $(\pi R^2)\cdot (2 R)=2 \pi R^3$. Умножив на коэффици­ент $2/3$, полу­чим формулу для объёма шара: $4/3 \cdot \pi R^3$.

Впро­чем, остав­ляя всё сие на уваже­ние людей, могущих судить о тако­вых вещах, я с моей сто­роны желал бы выдать в свет сие сочи­не­ние при жизни ещё Конона <Конон Самос­ский, др.-греч. Κόνων, лат. Conon, ок. 280 до н.э. — ок. 220 до н. э.>, кото­рый весьма мог вник­нуть в оное, и назна­чить всему насто­ящую цену. Как бы то ни было, полагая что и другим занимающимся матема­ти­че­скими нау­ками не бес­по­лезно будет знать мои тео­ремы, я посылаю оные к тебе с над­лежащими дока­за­тельствами, дабы знающие сей пред­мет, рас­смот­рели оные.

Архимед. О шаре и цилин­дре.

Лите­ра­тура

Архимед. О шаре и цилин­дре. Книга I // Архимеда две книги о шаре и цилин­дре, изме­ре­ние круга и леммы / Пер. с греч. и лат. Ф. Пет­ру­шев­ского. — СПб., 1823.

Архимед. Сочи­не­ния / Пере­вод, вступи­тель­ная ста­тья и коммен­та­рии И. Н. Весе­лов­ского. — М. : ГИФМЛ, 1962.

Цице­рон Марк Тулий. Туску­лан­ские беседы // Цице­рон Марк Тул­лий. Избран­ные сочи­не­ния / Пер. с лат. М. Гаспа­рова. — М. : Художе­ствен­ная лите­ра­тура, 1975. — С. 342.

Смотри также

 Взвеши­ва­ние цилин­дра и шара.

Другие этюды раздела «Площади и объёмы»