Софокусные эллипсы Грейвза

Постро­е­ние  эллипса с помощью нити откры­вает дорогу к постро­е­нию софо­кус­ных эллип­сов и «дарит» любопыт­ные факты из жизни этих кри­вых.

Взяв нить со свя­зан­ными кон­цами, охва­ты­вающую фокусы, и натя­нув её с помощью каран­даша, нари­суем эллипс. Нити раз­ной длины дают целое семейство софо­кус­ных эллип­сов. Но можно охва­ты­вать не отре­зок, соеди­няющий фокусы, а один из уже полу­чен­ных эллип­сов.

Нари­со­вав эллипс, изго­то­вим его «физи­че­скую» копию из доста­точно тол­стого мате­ри­ала, а затем совме­стим копию с ориги­на­лом. Возьмём нитя­ную петлю, кото­рой можно охва­тить эллипс, и, натя­нув её каран­дашом, про­ве­дём оваль­ную линию. Ока­зы­ва­ется, это тоже эллипс, при­чём софо­кус­ный исход­ному. Утвер­жде­ние можно про­ве­рить экс­пе­римен­тально, подо­брав длину петли, охва­ты­вающей фокусы.

Эту тео­рему в XIX веке дока­зал ирлан­дец Чарльз Грейвз, епи­скоп и матема­тик. В книге Феликса Клейна «Высшая геомет­рия» один из параграфов назы­ва­ется «Постро­е­ние из нитей Гревса и Шта­уде».

Дока­за­тельство тео­ремы Грей­вза мето­дами диффе­ренци­аль­ной геомет­рии можно про­чи­тать в книге Клейна. Отме­тим, что оно не явля­ется элемен­тар­ным, при­чина в том, что в каж­дый момент нить как линия состоит из двух отрез­ков, каса­тель­ных к эллипсу, и дуги эллипса. Уди­ви­тельно, но дуга эллипса — очень непро­стой объект, её длина выража­ется слож­ной форму­лой (исполь­зуются так назы­ва­емые эллип­ти­че­ские интегралы). А всего-то сжали окруж­ность, про кото­рую всё известно!

Известно «физи­че­ское» дока­за­тельство тео­ремы Грей­вза, осно­ван­ное на инту­и­тивно понят­ном утвер­жде­нии, что силы натяже­ния прямо­ли­ней­ных участ­ков нити равны. А вот суще­ствует ли дока­за­тельство на уровне элемен­тар­ной геомет­рии — без исполь­зо­ва­ния пре­де­лов и про­из­вод­ных — до сих пор неиз­вестно, и его пытаются найти многие геометры.

Лите­ра­тура

Клейн Ф. Высшая геомет­рия. — М.—Л.: ГОНТИ, 1939.

Табач­ни­ков С. Л., Фукс Д. Б. Матема­ти­че­ский дивер­тис­мент. — М.: МЦНМО, 2016. — [28.3: «Кау­стики, верё­воч­ная кон­струкция и тео­рема Грей­вза», с. 421].

Пра­со­лов В. В., Тихоми­ров В. М. Геомет­рия. — М.: МЦНМО, 2019. — С. 223—224.

Дроб­ле­ние кам­ней в поч­ках // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 48—49, 302—303.