Окружности на эллипсоиде

Любое сече­ние эллип­со­ида плос­ко­стью — эллипс. А бывает ли сече­ние, являюще­еся окруж­но­стью?

Если рас­смат­ри­вать эллип­соид враще­ния — взяли эллипс и про­вращали вокруг одной из осей, — то, конечно, окруж­но­сти имеются: в сече­нии, перпен­ди­ку­ляр­ном оси враще­ния. Эллип­со­иды враще­ния Архимед ассоци­и­ро­вал со сжа­той сфе­рой и назы­вал «сфе­роид»: вытя­ну­тый сфе­роид, если вращали вокруг большой оси эллипса; сплюс­ну­тый сфе­роид, если вращали вокруг малой оси.

Если сферу сжать по всем трём направ­ле­ниям, то полу­ча­ется эллип­соид с тремя раз­лич­ными полу­осями $a$, $b$, $c$. Кано­ни­че­ское урав­не­ние такого эллип­со­ида в декар­то­вых коор­ди­на­тах, совпа­дающих с осями сжа­тия: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$. Есть ли на его поверх­но­сти окруж­но­сти?

Дока­зать суще­ство­ва­ние окруж­но­стей на поверх­но­сти трёх­ос­ного эллип­со­ида можно, восполь­зо­вавшись сооб­раже­ни­ями непре­рыв­но­сти. Любое сече­ние эллип­со­ида плос­ко­стью, содержащей сред­нюю по вели­чине полу­ось, явля­ется эллип­сом. Будем накло­нять эту плос­кость от положе­ния, когда вто­рая полу­ось эллипса равна меньшей полу­оси эллип­со­ида, до положе­ния, когда вто­рая полу­ось эллипса равна большей полу­оси эллип­со­ида. При каком-то угле наклона полу­оси эллипса срав­няются — так и полу­чится окруж­ность.

Эллипсоид
Эллипсоид
Эллипсоид

На самом деле на поверх­но­сти трёх­ос­ного эллип­со­ида лежит два семейства парал­лель­ных друг другу окруж­но­стей. Про­де­мон­стри­ро­вать это можно, сде­лав нагляд­ную модель из тон­кого не негнущегося пла­стика или тон­кого, но плот­ного кар­тона.

Сфера из пластин
Сфера из пластин
Сфера из пластин

Собе­рём сферу из пла­стин. (Идея соеди­не­ния пла­стин с помощью про­ре­зей уже исполь­зо­ва­лась в моделе Гипер­бо­ли­че­ский пара­бо­лоид: модель из кар­тона.) Такое соеди­не­ние поз­во­ляет «скла­ды­вать» модель. При скла­ды­ва­нии сфера пере­хо­дит в эллип­соид, но пла­стины в каж­дом из двух семейств остаются парал­лель­ными друг другу.

Окружности на эллипсоиде
Окружности на эллипсоиде
Окружности на эллипсоиде

Гра­ницы пла­стин-кругов и есть окруж­но­сти, лежащие на поверх­но­сти эллип­со­ида. И плос­ко­сти окруж­но­стей в каж­дом из двух семейств парал­лельны друг другу.

Лите­ра­тура

Гиль­берт Д., Кон‐Фос­сен С. Нагляд­ная геомет­рия. — М.—Л.: ОНТИ, 1936. — [Пере­из­да­ния: 1951, 2004]. — [Глава 1 «Про­стейшие кри­вые и поверх­но­сти», § 3 «Поверх­но­сти вто­рого порядка»].

Другие модели раздела «Конические сечения: эллипс»