Гиперболический параболоид: модель из картона

Кар­тон­ная модель гипер­бо­ли­че­ского пара­бо­ло­ида уди­ви­тельна. В её назва­нии участ­вуют слова, изу­ча­емые только в старших клас­сах школы (и то по отдель­но­сти, а вме­сте — уже только в уни­вер­си­тете). Она поз­во­ляет явно уви­деть нетри­ви­аль­ные свойства этой слож­ной поверх­но­сти. При этом сде­лать и обсу­дить такую модель можно даже с детьми.

Уви­деть ани­ми­ро­ван­ное опре­де­ле­ние гипер­бо­ли­че­ского пара­бо­ло­ида, разо­браться, где там пара­болы, а где гипер­болы, можно, посмот­рев фильм  Сед­ло­вид­ная поверх­ность: гипер­бо­ли­че­ский пара­бо­лоид. А свойство линей­ча­то­сти этой сед­ло­вид­ной поверх­но­сти — то, что она обра­зо­вана движе­нием прямой линии — можно про­де­мон­стри­ро­вать про­де­лав про­ти­во­ре­чащий инту­иции экс­пе­римент с чип­сами, пока­зан­ный в фильме  Чипсы: гипер­бо­ли­че­ский пара­бо­лоид.

Кар­тон­ная модель поз­во­ляет ещё более наглядно убе­диться в свойстве линей­ча­то­сти гипер­бо­ли­че­ского пара­бо­ло­ида — она явно предъяв­ляет обра­зующие из обоих семейств. Опять же явно кар­тон­ная модель поз­во­ляет убе­диться и в том, что поверх­ность гипер­бо­ли­че­ского пара­бо­ло­ида «не плос­кая» (имеет отрица­тель­ную гаус­сову кри­визну) — листо­чек бумаги нельзя не помяв уложить на неё.

Рас­смат­ри­ва­емая модель гипер­бо­ли­че­ского пара­бо­ло­ида явля­ется изги­ба­емой: её можно сжимать, сохра­няя парал­лель­ность кар­то­нок в каж­дом из двух семейств, но меняя угол между этими семействами. При этом точки пере­се­че­ния обра­зующих, оче­видно, будут неизменны, сама поверх­ность будет меняться, но все­гда оста­ваться гипер­бо­ли­че­ским пара­бо­ло­и­дом. Слу­чай прямого угла соот­вет­ствует «школь­ным» прямо­уголь­ным гипер­бо­лам, когда их асимп­тоты перпен­ди­ку­лярны. Тео­ре­ти­че­ски, можно было бы сде­лать такую книгу-пано­раму (Pop Up), но если исполь­зо­вать негнущийся (соот­вет­ственно, отно­си­тельно тол­стый) кар­тон, то коли­че­ство слоёв слиш­ком велико, чтобы она хорошо закры­ва­лась «в плос­кость».

Лите­ра­тура

Гипер­бо­ли­че­ский пара­бо­лоид // Жур­нал «Квант». 1990. № 3. Стр. обл. 1, 4.

Чипсы // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 90.

Другие модели раздела «Конические сечения»