Седловидная поверхность: гиперболический параболоид ⁠

Гипер­бо­ли­че­ский пара­бо­лоид — поверх­ность, напоми­нающая седло. Она обра­зу­ется при таком движе­нии пара­болы с вет­вями вниз, что её вершина сколь­зит по дру­гой, непо­движ­ной пара­боле с вет­вями вверх. Плос­ко­сти пара­бол в каж­дый момент времени перпен­ди­ку­лярны, оси парал­лельны.

При пере­се­че­нии гипер­бо­ли­че­ского пара­бо­ло­ида с любой гори­зон­таль­ной плос­ко­стью полу­ча­ется гипер­бола. Если плос­кость про­хо­дит через центр седла, то гипер­бола вырож­да­ется в пару пере­се­кающихся прямых. (Если на эту плос­кость спро­еци­ро­вать гипер­болу из парал­лель­ного сече­ния, то прямые будут асимп­то­тами гипер­бо­лы‐про­екции.)

Ока­зы­ва­ется, гипер­бо­ли­че­ский пара­бо­лоид — линей­ча­тая поверх­ность, она также может быть обра­зо­вана движе­нием прямой линии!

Между двумя парал­лель­ными прямыми через рав­ные рас­сто­я­ния пустим набор отрез­ков. Повер­нём прямые вокруг цен­траль­ного отрезка в раз­ные сто­роны. (При этом длины всех отрез­ков, кроме цен­траль­ного, изме­нятся.) Так рас­по­ложен­ные в про­стран­стве отрезки лежат на гипер­бо­ли­че­ском пара­бо­ло­иде.

Эта поверх­ность допус­кает кра­си­вую реа­ли­за­цию в виде модели из тру­бо­чек.

Гаус­сова кри­визна во всех точ­ках гипер­бо­ли­че­ского пара­бо­ло­ида отрица­тельна. Такие поверх­но­сти назы­вают сед­ло­выми из-за визу­аль­ного сход­ства с сед­лом для вер­хо­вой езды.