Эллипс, гипербола, парабола: складывание листа бумаги

Любую глад­кую кри­вую можно уви­деть, нари­со­вав не саму кри­вую, а множе­ство каса­тель­ных к ней. Поня­тие оги­бающей подробно опи­сано в сюжете Пара­бола: изо­нить, в кото­ром в каче­стве оги­бающей семейства прямых воз­ни­кает пара­бола. Но постро­е­ние каса­тель­ных не такое про­стое дело. Про­де­мон­стри­руем, как уви­деть кони­че­ские сече­ния — эллипс, гипер­болу, пара­болу — ничего не счи­тая и не рисуя, а про­сто скла­ды­вая листок бумаги.

Вырежем из бумаги круг и отме­тим на нём точку. Перегнём круг так, чтобы гра­ница заги­ба­емого участка прошла через отме­чен­ную точку, и разгла­дим сложен­ный листо­чек в сто­рону сгиба. Раз­вер­нём круг, на нём оста­лась линия (отре­зок) сгиба. Сложим круг по другому направ­ле­нию, опять же, чтобы гра­ница прошла через отме­чен­ную точку. После нескольких таких опе­раций ста­нет видимым эллипс, как оги­бающая линий сгиба. Отме­чен­ная точка круга явля­ется одним из фоку­сов полу­чен­ного эллипса, а вто­рым фоку­сом явля­ется центр бумаж­ного круга.

Эллипс: складывание бумажного круга

Оги­бающая линий сгиба действи­тельно явля­ется эллип­сом. Скла­ды­ва­ние листа бумаги явля­ется постро­е­нием сере­дин­ного перпен­ди­ку­ляра к отрезку, соеди­няющему две совмеща­емые точки. Сле­до­ва­тельно, отре­зок от точки каса­ния линии сгиба с эллип­сом до отме­чен­ной точки-фокуса равен отрезку до точки окруж­но­сти, кото­рая совмеща­лась с фоку­сом при дан­ном сгибе. Вме­сте с отрез­ком, про­ве­дён­ным из цен­тра окруж­но­сти в точку каса­ния, они состав­ляют радиус. Таким обра­зом, сумма рас­сто­я­ний до фоку­сов из опре­де­ле­ния эллипса равна ради­усу бумаж­ного круга.

Ана­логич­ным спо­со­бом можно «нари­со­вать» гипер­болу. Только отме­чен­ная точка должна лежать вне круга, и тут проще всего при­кле­ить бумаж­ный круг скот­чем к обыч­ному пис­чему листу бумаги. Скла­ды­вая круг, сле­дует соблю­дать то же усло­вие: гра­ница круга должна про­хо­дить через отме­чен­ную точку. Линии (отрезки) сгиба являются каса­тель­ными к одной из вет­вей гипер­болы. Отме­чен­ная точка — один из фоку­сов гипер­болы, а вто­рой фокус — центр бумаж­ного круга. В дан­ном опыте уже раз­ность рас­сто­я­ний от точки гипер­болы до фоку­сов равна ради­усу бумаж­ного круга.

Можно рисо­вать каса­тель­ные к гипер­боле и на прямо­уголь­ном листе-осно­ва­нии, поль­зу­ясь согну­тым кругом как линейкой для про­ве­де­ния отрезка.

А вот для «рисо­ва­ния» пара­болы не нужен даже бумаж­ный круг. Возьмём обыч­ный прямо­уголь­ный лист бумаги и неда­леко от его сто­роны отме­тим точку. Будем скла­ды­вать лист по раз­лич­ным направ­ле­ниям так, чтобы эта сто­рона все­гда про­хо­дила через отме­чен­ную точку. Оги­бающая сги­бов — пара­бола.

Фоку­сом пара­болы явля­ется отме­чен­ная точка, а дирек­три­сой — исполь­зо­ван­ный край листа бумаги. Само скла­ды­ва­ние реа­ли­зует геомет­ри­че­ское опре­де­ле­ние пара­болы: рас­сто­я­ния от точки до фокуса и до дирек­трисы равны.

Похожие кар­тинки можно уви­деть в мини­а­тю­рах Эллипс как оги­бающая, Гипер­бола как оги­бающая, Пара­бола как оги­бающая. Но в них надо уметь стро­ить перпен­ди­ку­ляр к отрезку, а в ука­зан­ных мето­дах скла­ды­ва­ния листочка эта опе­рация «зашита» в сам спо­соб скла­ды­ва­ния.

Чита­тель может задать резон­ный вопрос: почему для эллипса и гипер­болы тре­бу­ется окруж­ность (круг), а для пара­болы — нет. На самом деле в слу­чае пара­болы окруж­ность тоже при­сут­ствует, только бес­ко­нечно большого ради­уса — в виде края листа бумаги. Род­ствен­ный факт: у эллипса и гипер­болы по два фокуса, а у пара­болы — один.

Другие модели раздела «Конические сечения»