«Учёная обезьянка» может не только считать подряд, как в одноимённом рассказе Михаила Зощенко, но умеет перемножать и складывать числа! Если передвинуть «ноги» обезьянки к задуманным числам, пальцы её «рук» укажут на результат выбранной операции.
Средняя иконка позволяет выбрать режим просмотра — историческую модель, её кинематическую схему или комбинированный режим.
на нужное число
на нужное число
на произведение чисел
История создания «Учёной обезьянки» связана с приездом в Америку из Англии в начале XX века дрессированной обезьянки по имени Консул. Она умела копировать многие действия человека, в том числе, считать на кассовом аппарате. Популярные шоу с её участием проходили в разных концах Америки. В 1909 году был даже выпущен короткометражный фильм «Консул пересекает Атлантику»: в то время самолёты делали лишь первые полёты и не могли летать далеко, попасть в Америку можно было только на пароходе, проведя в путешествии по Атлантическому океану более недели.
В 1910 году обезьянка выступала в городе Дейтон, где располагалась компания NCR выпускавшая кассовые счётные машины и имевшая большую коллекцию таких аппаратов. (Сейчас эта компания известна своими банкоматами, используемыми и в России.)
В 1915 году чертёжник компании NCR Уильям Генри Робертсон (William Henry Robertson), работавший перед этим учителем математики в старшей школе и слышавший истории о посещении Консулом компании, подал заявки на два патента. Первый — на «расчётное устройство» для «быстрого и простого метода поиска результатов» на графике. Такой метод решения уравнений называется номографией. Второй — на игрушку, использующую тот же механизм, «для стимулирования интереса детей к изучению чисел». Во втором патенте устройство было реализовано в форме обезьянки. И в 1916 году игрушка «Консул: учёная обезьянка» появилась в каталогах.
«Учёная обезьянка» умеет перемножать и возводить в квадрат числа от 1 до 12. Дело в том, что Америка унаследовала «школьную» таблицу умножения от Англии. В английской системе мер длины 1 фут равен 12 дюймам; до 1971 года денежная единица в 1 шиллинг равнялась 12 пенсам, а в системе мер весов, используемой монетным двором и по сей день, 1 фунт равен 12 унциям. Таблица умножения, являясь инструментом в системе образования, «подстроена» под страну и в Америке традиционно имеет размер 12×12. В России, метрическая (десятичная) система мер в необязательном порядке была введена в конце XIX века, а в качестве обязательной — в 1917—1925 годах; и мы с вами привычны к таблице умножения 10×10.
«Учёная обезьянка» — плоский шарнирный механизм
Конструкция устройства симметрична, основа механизма — два одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольника. Каждая гипотенуза одним концом опирается на числовую прямую, по которой эти точки опоры ($L$ и $R$) могут скользить. Другими концами гипотенузы треугольники шарнирно соединены. (Такую конструкцию можно представлять себе как две половинки разрезанного по вертикальной диагонали квадрата, нижние точки которого можно раздвигать.)
Два дополнительных звена, соединённых между собой шарниром в точке $O$, шарнирно соединены с треугольниками в вершинах прямых углов. Звенья равны по длине катетам треугольников и образуют вместе с ними шарнирный ромб.
При такой конструкции точка $O$ всегда расположена посередине между $L$ и $R$: так же как и шарнир, соединяющий треугольники, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $LR$. Выбор треугольников равнобедренными прямоугольными обеспечивает линейную (с коэффициентом $1/2$) зависимость высоты точки $O$ над числовой прямой от длины отрезка $LR$: расстояние от точки $O$ до прямой всегда равно половине длины отрезка $LR$. (Строгое доказательство приведено ниже.)
Так как целые числа на числовой прямой расположены равномерно, то при всевозможных положениях $L$ и $R$, соответствующих целым числам, положения точки $O$ будут образовывать треугольник значений, строки которого отстоят на одинаковое расстояние по высоте друг от друга. При этом позиции внутри одной строки будут расположены посередине между положениями в соседних строках.
Например, если $L$ и $R$ указывают на два соседних целых числа, то точка $O$ находится между ними, на расстоянии $1/2$ от числовой прямой. Если $L$ и $R$ указывают через число, то $O$ находится на расстоянии $1$ от прямой, а по положению — посередине между положениями в предыдущей строке.
Таким образом «учёная обезьянка» реализует бинарную операцию: каждое положение «переменных» $L$ и $R$ задаёт уникальное положение окошка, куда можно записать результат этой операции. Если не учитывать порядок чисел, на которые указывают $L$ и $R$, то операция будет коммутативная — не зависеть от порядка чисел. Например, можно запрограммировать функции умножения или сложения. А если дополнительно договориться, что при вычитании чисел всегда из большего вычитается меньшее, или при делении всегда большее делится на меньшее, то можно реализовать и некоммутативные вычитание с делением.
Чтобы выбранную операцию можно было применить к двум одинаковым числам, например получать квадрат при умножении, справа на числовой прямой для $R$ добавлено специальное дополнительное положение «квадрат». Треугольник значений дополнен соответствующими числами — квадратами чисел, на которые будет указывать $L$.
Для каждой выбранной операции составляется свой треугольник значений, который подкладывается на поле.
Для полноты описания классической конструкции «Учёной обезьянки» заметим, что прямоугольное окошко, на которое указывают пальцы обезьянки, поднято над точкой $O$. Чтобы окошко всегда было в вертикальном положении оно является частью звена «хвост», скользящего своей прорезью по шарниру, соединяющему треугольники, расположенному в бабочке. Это же звено удерживает в вертикальном положении и голову.
Если делать своими руками упрощённую модель без головы, а окошко сделать круглым в самой точке $O$, то необходимости в «хвосте» — нет. Такое упрощение даёт и то, что при далёких положениях $L$ и $R$ «хвост» не выступает над полем.
Приведём доказательство того, что выбор синих основных треугольников равнобедренными прямоугольными в конструкции обезьянки обеспечивает линейную (с коэффициентом $1/2$) зависимость высоты точки $O$ над числовой прямой от длины отрезка $LR$. Это необходимо, чтобы строки в треугольнике значений находились друг от друга по высоте на одном и том же расстоянии.
Для определения высоты точки $O$ около одного из равнобедренных прямоугольных треугольников опишем прямоугольник с горизонтальными и вертикальными сторонами. Одна вертикальная сторона прямоугольника лежит на оси симметрии конструкции, а вторая проходит через вершину прямого угла синего треугольника. Получившиеся закрашенные красным треугольники равны (они прямоугольные, катеты их равны, равны и углы). Проведём горизонтальную диагональ зелёного шарнирного ромба, горизонтальный отрезок через точку $O$ и вертикальный отрезок через точку $R$. Три красных отрезка равны между собой. А так как горизонтальная диагональ ромба делит пополам вертикальную диагональ, то такую же длину имеет и розовый отрезок. Значит, равны между собой и фиолетовые отрезки. Тем самым, четырёхугольник, закрашенный фиолетовым, всегда — при любом положении $L$ и $R$ — является квадратом. Одна из его сторон равна высоте точки $O$ над числовой прямой, а вторая, в силу симметрии, — половине длины $LR$.
Если отказаться от равнобедренности синих треугольников или наличия в них прямого угла, то строки в треугольнике значений будут располагаться нелинейно по высоте. Однако, при самостоятельном изготовлении отказ от перечисленных условий упрощает конструкцию ног обезьянки, а нелинейность не настолько большая, чтобы быть сильно заметной.
Математическая теория плоских шарнирных механизмов — линеечек разной длины, шарнирно соединённых в концах, — развивается и в наши дни. Так, в 2005 году была доказана теорема «о подписи»: для любой подписи, существует плоский шарнирный механизм, сколь угодно точно воспроизводящий эту подпись. Но теорема пока неконструктивна — доказано, что для любой подписи такой механизм существует, но как его построить для конкретной подписи, математики пока не знают.
