Учёная обезьянка
Объект на реконструкции
воспользуйтесь старой версией сайта
Учёная обезьянка

«Учё­ная обе­зьянка» может не только счи­тать под­ряд, как в одно­имён­ном рас­сказе Миха­ила Зощенко, но умеет пере­множать и скла­ды­вать числа! Если пере­дви­нуть «ноги» обе­зьянки к задуман­ным чис­лам, пальцы её «рук» укажут на результат выбран­ной опе­рации.

Сред­няя иконка поз­во­ляет выбрать режим про­смотра — исто­ри­че­скую модель, её кинема­ти­че­скую схему или ком­би­ни­ро­ван­ный режим.

Исто­рия созда­ния «Учё­ной обе­зьянки» свя­зана с при­ез­дом в Аме­рику из Англии в начале XX века дрес­си­ро­ван­ной обе­зьянки по имени Кон­сул. Она умела копи­ро­вать многие действия чело­века, в том числе, счи­тать на кас­со­вом аппа­рате. Попу­ляр­ные шоу с её уча­стием про­хо­дили в раз­ных кон­цах Аме­рики. В 1909 году был даже выпущен корот­комет­раж­ный фильм «Кон­сул пере­се­кает Атлан­тику»: в то время само­лёты делали лишь пер­вые полёты и не могли летать далеко, попасть в Аме­рику можно было только на паро­ходе, про­ведя в путеше­ствии по Атлан­ти­че­скому оке­ану более недели.

В 1910 году обе­зьянка выступала в городе Дейтон, где рас­по­лага­лась компа­ния NCR выпус­кавшая кас­со­вые счёт­ные машины и имевшая большую кол­лекцию таких аппа­ра­тов. (Сей­час эта компа­ния известна сво­ими бан­ко­ма­тами, исполь­зу­емыми и в Рос­сии.)

В 1915 году чер­тёж­ник компа­нии NCR Уильям Генри Роберт­сон (William Henry Robertson), рабо­тавший перед этим учи­те­лем матема­тики в старшей школе и слышавший исто­рии о посеще­нии Кон­су­лом компа­нии, подал заявки на два патента. Пер­вый — на «рас­чёт­ное устройство» для «быст­рого и про­стого метода поиска результа­тов» на графике. Такой метод реше­ния урав­не­ний назы­ва­ется номографией. Вто­рой — на игрушку, исполь­зующую тот же меха­низм, «для стиму­ли­ро­ва­ния инте­реса детей к изу­че­нию чисел». Во вто­ром патенте устройство было реа­ли­зо­вано в форме обе­зьянки. И в 1916 году игрушка «Кон­сул: учё­ная обе­зьянка» появи­лась в ката­логах.

«Учё­ная обе­зьянка» умеет пере­множать и воз­во­дить в квад­рат числа от 1 до 12. Дело в том, что Аме­рика уна­сле­до­вала «школь­ную» таб­лицу умноже­ния от Англии. В английской системе мер длины 1 фут равен 12 дюймам; до 1971 года денеж­ная еди­ница в 1 шил­линг рав­ня­лась 12 пен­сам, а в системе мер весов, исполь­зу­емой монет­ным дво­ром и по сей день, 1 фунт равен 12 унциям. Таб­лица умноже­ния, явля­ясь инструмен­том в системе обра­зо­ва­ния, «под­стро­ена» под страну и в Аме­рике тра­дици­онно имеет размер 12×12. В Рос­сии, мет­ри­че­ская (деся­тич­ная) система мер в необя­за­тель­ном порядке была вве­дена в конце XIX века, а в каче­стве обя­за­тель­ной — в 1917—1925 годах; и мы с вами при­вычны к таб­лице умноже­ния 10×10.

«Учё­ная обе­зьянка» — плос­кий шар­нир­ный меха­низм.

Кон­струкция устройства симмет­рична, основа меха­низма — два оди­на­ко­вых рав­но­бед­рен­ных прямо­уголь­ных тре­уголь­ника. Каж­дая гипо­те­нуза одним концом опи­ра­ется на чис­ло­вую прямую, по кото­рой эти точки опоры ($L$ и $R$) могут сколь­зить. Другими кон­цами гипо­те­нузы тре­уголь­ники шар­нирно соеди­нены. (Такую кон­струкцию можно пред­став­лять себе как две поло­винки раз­ре­зан­ного по вер­ти­каль­ной диаго­нали квад­рата, ниж­ние точки кото­рого можно раз­двигать.)

Модель

Два допол­ни­тель­ных звена, соеди­нён­ных между собой шар­ни­ром в точке $O$, шар­нирно соеди­нены с тре­уголь­ни­ками в верши­нах прямых углов. Зве­нья равны по длине кате­там тре­уголь­ни­ков и обра­зуют вме­сте с ними шар­нир­ный ромб.

При такой кон­струкции точка $O$ все­гда рас­по­ложена посе­ре­дине между $L$ и $R$: так же как и шар­нир, соеди­няющий тре­уголь­ники, она лежит на сере­дин­ном перпен­ди­ку­ляре к отрезку $LR$. Выбор тре­уголь­ни­ков рав­но­бед­рен­ными прямо­уголь­ными обес­пе­чи­вает линей­ную (с коэффици­ен­том $1/2$) зави­симость высоты точки $O$ над чис­ло­вой прямой от длины отрезка $LR$: рас­сто­я­ние от точки $O$ до прямой все­гда равно поло­вине длины отрезка $LR$. (Строгое дока­за­тельство при­ве­дено ниже.)

Так как целые числа на чис­ло­вой прямой рас­по­ложены рав­но­мерно, то при все­возмож­ных положе­ниях $L$ и $R$, соот­вет­ствующих целым чис­лам, положе­ния точки $O$ будут обра­зо­вы­вать тре­уголь­ник зна­че­ний, строки кото­рого отстоят на оди­на­ко­вое рас­сто­я­ние по высоте друг от друга. При этом позиции внутри одной строки будут рас­по­ложены посе­ре­дине между положе­ни­ями в сосед­них стро­ках.

Напри­мер, если $L$ и $R$ ука­зы­вают на два сосед­них целых числа, то точка $O$ нахо­дится между ними, на рас­сто­я­нии $1/2$ от чис­ло­вой прямой. Если $L$ и $R$ ука­зы­вают через число, то $O$ нахо­дится на рас­сто­я­нии $1$ от прямой, а по положе­нию — посе­ре­дине между положе­ни­ями в преды­дущей строке.

Таким обра­зом «учё­ная обе­зьянка» реа­ли­зует бинар­ную опе­рацию: каж­дое положе­ние «перемен­ных» $L$ и $R$ задаёт уни­каль­ное положе­ние окошка, куда можно запи­сать результат этой опе­рации. Если не учи­ты­вать поря­док чисел, на кото­рые ука­зы­вают $L$ и $R$, то опе­рация будет комму­та­тив­ная — не зави­сеть от порядка чисел. Напри­мер, можно запрограмми­ро­вать функции умноже­ния или сложе­ния. А если допол­ни­тельно дого­во­риться, что при вычи­та­нии чисел все­гда из большего вычи­та­ется меньшее, или при деле­нии все­гда большее делится на меньшее, то можно реа­ли­зо­вать и некомму­та­тив­ные вычи­та­ние с деле­нием.

Чтобы выбран­ную опе­рацию можно было при­ме­нить к двум оди­на­ко­вым чис­лам, напри­мер полу­чать квад­рат при умноже­нии, справа на чис­ло­вой прямой для $R$ добав­лено спе­ци­аль­ное допол­ни­тель­ное положе­ние «квад­рат». Тре­уголь­ник зна­че­ний допол­нен соот­вет­ствующими чис­лами — квад­ра­тами чисел, на кото­рые будет ука­зы­вать $L$.

Для каж­дой выбран­ной опе­рации состав­ля­ется свой тре­уголь­ник зна­че­ний, кото­рый под­кла­ды­ва­ется на поле.

Для пол­ноты опи­са­ния клас­си­че­ской кон­струкции «Учё­ной обе­зьянки» заме­тим, что прямо­уголь­ное окошко, на кото­рое ука­зы­вают пальцы обе­зьянки, под­нято над точ­кой $O$. Чтобы окошко все­гда было в вер­ти­каль­ном положе­нии оно явля­ется частью звена «хвост», сколь­зящего своей про­ре­зью по шар­ниру, соеди­няющему тре­уголь­ники, рас­по­ложен­ному в бабочке. Это же звено удержи­вает в вер­ти­каль­ном положе­нии и голову.

Если делать сво­ими руками упрощён­ную модель без головы, а окошко сде­лать круг­лым в самой точке $O$, то необ­хо­димо­сти в «хво­сте» — нет. Такое упроще­ние даёт и то, что при далё­ких положе­ниях $L$ и $R$ «хвост» не выступает над полем.

При­ве­дём дока­за­тельство того, что выбор синих основ­ных тре­уголь­ни­ков рав­но­бед­рен­ными прямо­уголь­ными в кон­струкции обе­зьянки обес­пе­чи­вает линей­ную (с коэффици­ен­том $1/2$) зави­симость высоты точки $O$ над чис­ло­вой прямой от длины отрезка $LR$. Это необ­хо­димо, чтобы строки в тре­уголь­нике зна­че­ний нахо­ди­лись друг от друга по высоте на одном и том же рас­сто­я­нии.

Модель

Для опре­де­ле­ния высоты точки $O$ около одного из рав­но­бед­рен­ных прямо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков опишем прямо­уголь­ник с гори­зон­таль­ными и вер­ти­каль­ными сто­ро­нами. Одна вер­ти­каль­ная сто­рона прямо­уголь­ника лежит на оси симмет­рии кон­струкции, а вто­рая про­хо­дит через вершину прямого угла синего тре­уголь­ника. Полу­чивши­еся закрашен­ные крас­ным тре­уголь­ники равны (они прямо­уголь­ные, катеты их равны, равны и углы). Про­ве­дём гори­зон­таль­ную диаго­наль зелё­ного шар­нир­ного ромба, гори­зон­таль­ный отре­зок через точку $O$ и вер­ти­каль­ный отре­зок через точку $R$. Три крас­ных отрезка равны между собой. А так как гори­зон­таль­ная диаго­наль ромба делит попо­лам вер­ти­каль­ную диаго­наль, то такую же длину имеет и розо­вый отре­зок. Зна­чит, равны между собой и фио­ле­то­вые отрезки. Тем самым, четырёх­уголь­ник, закрашен­ный фио­ле­то­вым, все­гда — при любом положе­нии $L$ и $R$ — явля­ется квад­ра­том. Одна из его сто­рон равна высоте точки $O$ над чис­ло­вой прямой, а вто­рая, в силу симмет­рии, — поло­вине длины $LR$.

Если отка­заться от рав­но­бед­рен­но­сти синих тре­уголь­ни­ков или нали­чия в них прямого угла, то строки в тре­уголь­нике зна­че­ний будут рас­по­лагаться нели­нейно по высоте. Однако, при само­сто­я­тель­ном изго­тов­ле­нии отказ от пере­чис­лен­ных усло­вий упрощает кон­струкцию ног обе­зьянки, а нели­ней­ность не настолько большая, чтобы быть сильно замет­ной.

Матема­ти­че­ская тео­рия плос­ких шар­нир­ных меха­низмов — лине­е­чек раз­ной длины, шар­нирно соеди­нён­ных в кон­цах, — раз­ви­ва­ется и в наши дни. Так, в 2005 году была дока­зана тео­рема «о подписи»: для любой подписи, суще­ствует плос­кий шар­нир­ный меха­низм, сколь угодно точно вос­про­из­во­дящий эту подпись. Но тео­рема пока некон­струк­тивна — дока­зано, что для любой подписи такой меха­низм суще­ствует, но как его постро­ить для кон­крет­ной подписи, матема­тики пока не знают.