Плотнейшая упаковка шаров

Укладка кругов на плос­ко­сти по узлам решётки пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков явля­ется более плот­ной, чем укладка по решётке квад­рат­ной. Более того, гек­саго­наль­ная укладка явля­ется на плос­ко­сти плот­нейшей не только среди решёт­ча­тых, но и среди всех возмож­ных.

Решёт­ча­тую укладку шаров в нашем трёхмер­ном про­стран­стве можно начать стро­ить как с квад­рат­ной решётки, так и с гек­саго­наль­ной решётки. Шары сле­дующего слоя кла­дутся в «ямки» слоя преды­дущего. Какая из полу­чающихся упа­ко­вок будет более плот­ной?

Упаковка шаров
Упаковка шаров

Квад­рат­ная упа­ковка шаров в пер­вом слое менее плот­ная, но ямки ока­зы­ваются более глу­бо­кими, чем в тре­уголь­ной, более плот­ной, упа­ковке. К тому же, начи­ная с тре­уголь­ной решётки, в сле­дующем слое уда­ётся запол­нить лишь поло­вину ямок.

Ока­зы­ва­ется, в итоге полу­ча­ется одна и та же кон­струкция (с точ­но­стью до пово­рота)! Уви­деть это можно, сложив шары пирами­дой на квад­рат­ной решётке: в плос­ко­сти грани пирамиды видна тре­уголь­ная решётка.

Упаковка шаров

При такой упа­ковке шары занимают $\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74$ всего про­стран­ства. То, что это мак­сималь­ная плот­ность при решёт­ча­той упа­ковке шаров, дока­зал Карл Фри­дрих Гаусс. То, что это мак­сималь­ная плот­ность среди всех упа­ко­вок, не обя­за­тельно решёт­ча­тых, было дока­зано Тома­сом Хейл­зом уже в XXI веке.

Другие модели раздела «Упаковки и покрытия»