Укладка кругов на плоскости по узлам решётки правильных треугольников является более плотной, чем укладка по решётке квадратной. Более того, гексагональная укладка является на плоскости плотнейшей не только среди решётчатых, но и среди всех возможных.
Решётчатую укладку шаров в нашем трёхмерном пространстве можно начать строить как с квадратной решётки, так и с гексагональной решётки. Шары следующего слоя кладутся в «ямки» слоя предыдущего. Какая из получающихся упаковок будет более плотной?
Квадратная упаковка шаров в первом слое менее плотная, но ямки оказываются более глубокими, чем в треугольной, более плотной, упаковке. К тому же, начиная с треугольной решётки, в следующем слое удаётся заполнить лишь половину ямок.
Оказывается, в итоге получается одна и та же конструкция (с точностью до поворота)!
Увидеть это можно, сложив шары пирамидой на квадратной решётке: в плоскости грани пирамиды видна треугольная решётка.
А можно сложить пирамиду из уменьшающихся «гексагональных» шестиугольников. Боковые грани получающейся пирамиды через одну будут то квадратной укладкой, то гексагональной.
При такой упаковке шары занимают $\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74$ всего пространства. То, что это максимальная плотность при решётчатой упаковке шаров, доказал Карл Фридрих Гаусс. То, что это максимальная плотность среди всех упаковок, не обязательно решётчатых, было доказано Томасом Хейлзом уже в XXI веке.
Другие модели раздела «Упаковки и покрытия»
