Сумма квадратов

Возьмём кубики в коли­че­стве, рав­ном квад­рату целого числа. Из них можно выложить квад­рат. Сде­лаем пять таких квад­ра­тов для пер­вых пяти нату­раль­ных чисел. Рас­по­ложим их друг над другом и склеим. Полу­чим деталь, похожую на лесенку.

Три такие детали можно при­ложить друг к другу и полу­чить фигуру, похожую на парал­ле­лепипед с выступом. Другие три детали скла­ды­ваются в ана­логич­ную фигуру. Соеди­нив их, полу­чим парал­ле­лепипед без пустот.

Объём этого парал­ле­лепипеда, выражен­ный в коли­че­стве куби­ков, равен, с одной сто­роны, про­из­ве­де­нию числа куби­ков, вхо­дящих в каж­дую сто­рону, а с дру­гой сто­роны, сумме квад­ра­тов пер­вых пяти чисел, умножен­ному на шесть. Отсюда можно выве­сти общую гипо­тезу о сумме квад­ра­тов пер­вых n нату­раль­ных чисел.