Математические этюды

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника⁠

совместно с Григорием Мерзоном

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

Вне зависимости от количества вершин сумма внешних углов в любом выпуклом многоугольнике на плоскости одна и та же и равна $360^\circ$. (В отличие от суммы внутренних углов, которая зависит от количества вершин многоугольника.)

Подсчитать сумму внешних углов выпуклого многоугольника поможет мысленный эксперимент. Нарисуем на плоскости треугольник и раскрасим его внешние углы. Отдалим плоскость от наблюдателя: треугольник будет видеться точкой, а точки всей остальной плоскости будут окрашены каким-то одним из цветов. Внешние углы составят полный угол — $360^\circ$.

--:--

Буквально это же рассуждение проходит и для любого выпуклого многоугольника. Нарисуем на плоскости многоугольник и раскрасим его внешние углы. Отдалим плоскость от наблюдателя: многоугольник будет видеться точкой, а точки всей остальной плоскости будут окрашены каким-то одним из цветов. Внешние углы составят полный угол — $360^\circ$.

--:--

Мысленный эксперимент станет математическим доказательством, если рассмотреть окружность с произвольным центром и такого радиуса, чтобы все вершины многоугольника лежали внутри неё. Вся окружность поделится на дуги, соответствующие внешним углам многоугольника. Так как вершины углов лежат не в центре окружности, то высекаемые дуги не будут равны внешним углам многоугольника: какие-то дуги будут больше, какие-то — меньше. Но если увеличивать радиус окружности (не меняя её центр), то величины дуг будут стремиться к своим «правильным» значениям — величинам внешних углов многоугольника. Значит, сумма внешних углов многоугольника равна $360^\circ$.

--:--

Приведём более классическую иллюстрацию рассматриваемого факта. Внешние углы треугольника (многоугольника) можно сдвинуть (параллельно перенести, не поворачивая) вдоль сторон в одну точку и они составят полный угол. Этот вариант несложно сделать в виде наглядной модели ⁠⁠Сумма внешних углов выпуклого многоугольника.

--:--

Классическое доказательство формулы суммы внешних углов выпуклого многоугольника основано на параллельном переносе вектора вдоль многоугольника. Математически более правильно рассматривать вектор, нормальный к сторонам, но нагляднее — вектор, совпадающий со сторонами многоугольника. Перенесём вектор, выходящий из одной из вершин, параллельным переносом вдоль стороны. В следующей вершине повернём вектор на внешний угол: он совпадёт с направлением другой стороны. После обхода всего многоугольника таким образом вектор придёт в исходное положение, т. е. совершит поворот на $360^\circ$.

--:--

Где же использовалась выпуклость мноугольника? В последнем рассуждении — в том, что вектор поворачивается всегда в одну сторону, и углы суммируются. В первых рассуждениях — что цвета не накладываются друг на друга. На самом деле, если считать внешние углы со знаками (поворот против часовой стрелки считать с одним знаком, по часовой — с другим), то утверждение, что сумма внешних углов равна $360^\circ$, верно и для невыпуклых многоугольников.

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника может быть посчитана через внешние углы — каждый внутренний угол дополняет внешний до развёрнутого, т. е. равен $180^\circ$ минус внешний. Для $n$-угольника получаем формулу суммы внутренних углов из школьного учебника: $180^\circ \cdot n - 360^\circ=180^\circ (n-2)$, ⁠⁠для треугольника — $180^\circ$. Как получить эти формулы, расскрашивая плоскость, описано в статье Л. А. Емельянова «Чему равна сумма углов?».

Вернёмся к первой иллюстрации с удалением плоскости от наблюдателя. Искушённый читатель, знакомый с ⁠⁠геометрией Лобачевского, может задаться вопросом, почему такое доказательство не проходит в других геометриях — в них же сумма внешних и внутренних углов выпуклого многоугольника отличается от приведённых формул. Дело в том, что это рассуждение использует подобие многоугольников — сохранение углов при масштабировании. А это — прерогатива исключительно евклидовой геометрии (см. ⁠⁠Три геометрии: сходства и различия).

В заключение, напомним читателю задачу Г. А. Гальперина с интересной историей, начавшейся в 1978 году. Прожектор освещает бесконечный угол величиной в 1 градус. Разрешается располагать произвольным образом любое конечное количество прожекторов на плоскости так, чтобы они осветили целиком всю плоскость. Какое наименьшее число прожекторов потребуется, если это
а) евклидова плоскость;
б) плоскость Лобачевского?