Увеличение объёма выпуклых многогранников

Пом­ните, как выгля­дел пакет молока в совет­ское время? Уди­ви­тельно, что вся страна покупала эти пакеты почти каж­дый день на про­тяже­нии более 20 лет, но мало кто сей­час пом­нит точно, что на них было нари­со­вано...

Но все конечно пом­нят, что пакет молока был в виде тет­раэдра (пра­виль­ной тре­уголь­ной пирамиды). Изоб­рела пакеты в виде тет­раэдра фирма Тетра Пак  (Tetra Pak) в 40-х годах XX века, откуда и полу­чила своё назва­ние. В те годы эта фирма сде­лала два важ­ных ново­вве­де­ния. Во-пер­вых, жид­кие про­дукты начали нали­вать в кар­тон. Во-вто­рых, изго­тов­ле­ние тет­раэд­раль­ных паке­тов было настолько про­стым, что его можно было осуществ­лять прямо на моло­ко­за­во­дах.

Вот  так выгля­дел наи­бо­лее рас­про­стра­нён­ный пакет молока в Совет­ском Cоюзе: крас­ные и синие тре­уголь­ники; в форме тет­раэдра (конечно, с небольшими искаже­ни­ями).

Можно ли из куска кар­тона, из кото­рого сде­лан этот молоч­ный пакет, сде­лать пакет с бóльшим объёмом, чем сам тет­раэдр?

Матема­ти­че­ски задача форму­ли­ру­ется так: можно ли из  раз­вёртки тет­раэдра сде­лать многогран­ник с бóльшим объёмом?

А. Д. Алек­сан­дров 1912—1999

Алек­сандр Дани­ло­вич Алек­сан­дров — рос­сийский матема­тик, иссле­до­вавший обшир­ный круг вопро­сов, вклю­чая геомет­рию выпук­лых тел, тео­рию меры, тео­рию диффе­ренци­аль­ных урав­не­ний в част­ных про­из­вод­ных и матема­ти­че­ские осно­ва­ния тео­рии отно­си­тель­но­сти.

По тео­реме А. Д. Алек­сан­дрова, выпук­лый многогран­ник с той же раз­вёрт­кой, но бóльшим объёмом сде­лать нельзя. Но, может быть, можно сде­лать невыпук­лый с бóльшим объёмом?

Уди­ви­тельно, но ока­зы­ва­ется что можно!

Давайте про­сле­дим за кон­струкцией, пред­ложен­ной Дэви­дом Бли­ке­ром в 1996 году. Раз­ве­дём грани и на каж­дой доба­вим допол­ни­тель­ные вершины и рёбра. Возьмём цен­траль­ный пра­виль­ный тре­уголь­ник, опре­де­лён­ный соот­ноше­нием, что его сто­рона в  два раза больше рас­сто­я­ния от его вершины до сто­роны грани. Про­ве­дём  допол­ни­тель­ные рёбра.

Те же постро­е­ния  сде­лаем на каж­дой грани. Изогнём каж­дую грань сле­дующим обра­зом: углы и сере­дины сто­рон в сто­рону цен­тра, а цен­траль­ный тре­уголь­ни­чек — от цен­тра. Все грани  изогнуты оди­на­ково, и их можно  скле­ить в многогран­ник. Неко­то­рые новые грани лежат в одной плос­ко­сти, и рёбра между ними исче­зают.

Под­счи­таем объём полу­чившегося многогран­ника. Для этого  разо­бьём его на части. Полу­чен­ный многогран­ник состоит из четырёх оди­на­ко­вых шести­уголь­ных пирами­док и фигуры, кото­рая явля­ется усе­чён­ным тет­раэд­ром. Чтобы проще посчи­тать объём, доба­вим усе­чён­ные у тет­раэдра углы — маленькие тет­раэдры, а от полу­чившегося зна­че­ния объёма отнимем объём добав­лен­ных кусоч­ков.

Ока­зы­ва­ется, что объём полу­чен­ного таким спо­со­бом многогран­ника больше чем на 37,7%  пре­вос­хо­дит объём изна­чаль­ного тет­раэдра, имеющего ту же раз­вёртку! Т.е. из куска кар­тона, из кото­рого дела­лись тет­ра­драль­ные пакеты, можно делать пакеты, кото­рые вме­сти­тель­нее более чем на треть!

Уди­ви­тельно, но тет­раэдр не явля­ется исклю­че­нием. Ока­зы­ва­ется, что из раз­вёртки любого выпук­лого многогран­ника с тре­уголь­ными гра­нями можно сде­лать невыпук­лый многогран­ник с бóльшим объёмом.  Эту тео­рему дока­зал в 1996 году Д. Бли­кер и при­вёл алго­ритм, как это делать.

В своей ста­тье, кроме многогран­ни­ков с тре­уголь­ными гра­нями, Д. Бли­кер рас­смот­рел два пра­виль­ных многогран­ника, не попа­дающие в этот класс — куб и доде­каэдр. Из их раз­вёр­ток также можно сложить невыпук­лые многогран­ники с бóльшим объёмом, чем у изна­чаль­ных выпук­лых. В 2005 году, когда созда­вался фильм, матема­тики верили, что верна

Гипо­теза

Из раз­вёртки любого выпук­лого многогран­ника все­гда можно сложить невыпук­лый многогран­ник с бóльшим объёмом.

Нерешён­ные задачи

Дока­зать (или опро­верг­нуть) гипо­тезу.

Насколько большим может быть объём невыпук­лого многогран­ника, сложен­ного из раз­вёртки тет­раэдра? Другого дан­ного выпук­лого многогран­ника?

Летом 2006 года, двумя матема­ти­ками — аспи­ран­том МГУ Гурием Сама­ри­ным и Иго­рем Паком из MIT — неза­ви­симо друг от друга было дока­зано, что гипо­теза верна. Усло­вие тре­уголь­но­сти гра­ней было лишь тех­ни­че­ским момен­том, поз­во­лившем Бли­керу дока­зать свою тео­рему, но в задаче оно не по суще­ству — тео­рема верна и без этого усло­вия.

Лите­ра­тура

Bleecker, David D. Volume increasing isometric deformations of convex polyhedra // Journal Differential Geometry. — 1996. — V. 43. — P. 505—526.

Pak I. Inflating polyhedral surfaces.

Другие этюды раздела «Внешняя геометрия многогранников»